Subgroups — #20989

Order 256.

937 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1901	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1900	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1742	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
11	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
12	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
17	#525	—	2	1	no	—
18	#525	—	2	2	no	—
19	#525	—	2	1	no	—
20	#525	—	2	2	no	—
21	#525	—	2	1	no	—
22	#525	—	2	1	no	—
23	C₂×#123	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#120	C₄	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#413	—	2	8	no	—
30	C₂×#101	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#407	—	2	1	no	—
33	#407	—	2	1	no	—
34	#407	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
36	#343	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	2	1	no	—
41	C₂×#41	—	2	1	no	—
42	C₂×#41	—	2	4	no	—
43	C₂×#41	—	2	4	no	—
44	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
63	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
74	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
77	#123	—	2	2	no	—
78	#123	—	2	4	no	—
79	#123	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
84	#121	—	2	2	no	—
85	#121	—	2	2	no	—
86	#121	—	2	2	no	—
87	#121	—	2	2	no	—
88	#120	—	2	2	no	—
89	#120	—	2	4	no	—
90	#120	—	2	2	no	—
91	C₄×D₄	—	2	4	no	—
92	C₄×D₄	—	2	4	no	—
93	C₄×D₄	—	2	4	no	—
94	C₄×D₄	—	2	4	no	—
95	#117	—	2	1	no	—
96	#117	—	2	1	no	—
97	#117	—	2	1	no	—
98	#117	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#101	—	2	8	no	—
106	#100	—	2	8	no	—
107	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
109	C₂⁴	—	2	4	no	—
110	C₂⁴	—	4	4	no	—
111	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	#41	—	4	2	no	—
118	#41	—	4	2	no	—
119	#41	—	4	4	no	—
120	#41	—	4	4	no	—
121	#41	—	4	2	no	—
122	#41	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂×D₄	—	2	1	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
153	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	M₁₆	—	2	16	no	—
176	M₁₆	—	2	8	no	—
177	M₁₆	—	2	4	no	—
178	M₁₆	—	2	4	no	—
179	M₁₆	—	2	4	no	—
180	M₁₆	—	4	4	no	—
181	M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₈	—	2	16	no	—
183	C₂×C₈	—	2	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂×C₈	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	4	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	16	no	—
213	C₂³	—	4	4	no	—
214	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	Q₈	—	4	1	no	—
221	Q₈	—	4	2	no	—
222	Q₈	—	4	1	no	—
223	D₄	—	4	8	no	—
224	D₄	—	4	4	no	—
225	D₄	—	4	4	no	—
226	D₄	—	4	8	no	—
227	D₄	—	4	1	no	—
228	D₄	—	4	2	no	—
229	D₄	—	4	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	C₈	—	2	8	no	—
266	C₈	—	4	4	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	4	8	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	2	no	—
282	C₂²	—	8	4	no	—
283	C₂²	#386	1	2	yes	—
284	C₂²	#386	1	2	yes	—
285	C₂²	#413	1	4	yes	complemented
286	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
288	C₄	—	2	2	no	—
289	C₄	—	2	2	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	#386	1	2	yes	—
293	C₄	#386	1	2	yes	—
294	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
295	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
297	C₂	—	2	2	no	—
298	C₂	—	2	4	no	—
299	C₂	—	2	2	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	4	2	no	—
302	C₂	—	8	2	no	—
303	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂×#413	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#525	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×M₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#413	C₂	semidirect
4. C₂×#407	C₂	semidirect
5. #1901	C₂	semidirect
6. #1900	C₂	semidirect
7. #1742	C₂	semidirect
30. C₂×#101	C₂²	semidirect
31. C₂×#100	C₂²	semidirect
36. #343	C₂²	semidirect
70. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
285. C₂²	#413	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₁₆	2
C₂×#525	2
C₂×#413	2
C₂×#407	2
#1901	2
#1900	2
#1742	2