Subgroups — #21004

Order 256.

843 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#575	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1908	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1907	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#575	—	2	4	no	—
13	#575	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#137	—	2	1	no	—
15	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	1	no	—
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#135	—	2	2	no	—
19	#568	—	2	4	no	—
20	#568	—	2	4	no	—
21	C₂×#131	—	2	2	no	—
22	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#417	—	2	2	no	—
30	#417	—	2	2	no	—
31	#417	—	2	2	no	—
32	#417	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#103	—	2	1	no	—
34	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#102	—	2	1	no	—
36	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#413	—	2	4	no	—
38	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#343	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#341	C₂²	1	4	yes	complemented
42	C₂×#41	—	2	1	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	1	no	—
48	C₂×#41	—	2	1	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	1	no	—
51	C₂×#41	—	2	1	no	—
52	C₂×#41	—	2	2	no	—
53	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#137	—	2	4	no	—
69	#137	—	2	8	no	—
70	#137	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
72	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
73	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	#135	—	2	16	no	—
75	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×D₈	—	2	2	no	—
79	#131	—	2	16	no	—
80	#131	—	2	8	no	—
81	#131	—	2	8	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	#103	—	2	4	no	—
112	#103	—	2	4	no	—
113	#102	—	2	4	no	—
114	#102	—	2	4	no	—
115	#101	—	2	4	no	—
116	#100	—	2	4	no	—
117	C₂⁴	—	2	1	no	—
118	C₂⁴	—	2	1	no	—
119	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
120	#41	—	2	4	no	—
121	#41	—	2	4	no	—
122	#41	—	2	4	no	—
123	#41	—	2	4	no	—
124	#41	—	2	4	no	—
125	#41	—	2	2	no	—
126	#41	—	2	2	no	—
127	#41	—	2	4	no	—
128	#41	—	2	4	no	—
129	#41	—	2	4	no	—
130	#41	—	2	4	no	—
131	#41	—	4	2	no	—
132	#41	—	4	2	no	—
133	#41	—	4	2	no	—
134	#41	—	4	2	no	—
135	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
136	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	—	2	1	no	—
156	C₂×D₄	—	2	1	no	—
157	C₂×D₄	—	2	1	no	—
158	C₂×D₄	—	2	1	no	—
159	C₂×D₄	—	2	1	no	—
160	C₂×D₄	—	4	1	no	—
161	C₂×D₄	—	4	1	no	—
162	C₂×D₄	—	4	2	no	—
163	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
180	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
190	Q₁₆	—	2	8	no	—
191	SD₁₆	—	2	8	no	—
192	SD₁₆	—	2	8	no	—
193	D₈	—	2	8	no	—
194	M₁₆	—	2	16	no	—
195	M₁₆	—	2	4	no	—
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	M₁₆	—	2	4	no	—
198	M₁₆	—	2	4	no	—
199	M₁₆	—	2	2	no	—
200	M₁₆	—	2	2	no	—
201	M₁₆	—	2	2	no	—
202	M₁₆	—	2	2	no	—
203	M₁₆	—	4	2	no	—
204	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
205	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₈	—	2	16	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	4	1	no	—
224	C₂³	—	4	1	no	—
225	C₂³	—	4	1	no	—
226	C₂³	—	4	1	no	—
227	C₂³	—	8	1	no	—
228	C₂³	—	8	1	no	—
229	C₂³	—	8	1	no	—
230	C₂³	—	8	1	no	—
231	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	#123	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	Q₈	—	2	2	no	—
237	Q₈	—	2	4	no	—
238	Q₈	—	2	2	no	—
239	Q₈	—	2	2	no	—
240	Q₈	—	4	1	no	—
241	Q₈	—	4	1	no	—
242	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	D₄	—	2	4	no	—
244	D₄	—	2	4	no	—
245	D₄	—	2	8	no	—
246	D₄	—	2	2	no	—
247	D₄	—	2	2	no	—
248	D₄	—	2	2	no	—
249	D₄	—	2	4	no	—
250	D₄	—	4	4	no	—
251	D₄	—	4	4	no	—
252	D₄	—	4	1	no	—
253	D₄	—	4	1	no	—
254	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₈	—	2	4	no	—
288	C₈	—	2	4	no	—
289	C₈	—	2	4	no	—
290	C₈	—	4	2	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	1	no	—
293	C₂²	—	2	1	no	—
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	8	4	no	—
304	C₂²	—	8	2	no	—
305	C₂²	—	8	2	no	—
306	C₂²	—	8	1	no	—
307	C₂²	—	8	1	no	—
308	C₂²	#386	1	2	yes	—
309	C₂²	#386	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	2	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	#386	1	2	yes	—
317	C₄	#386	1	2	yes	—
318	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂	—	2	1	no	—
323	C₂	—	2	1	no	—
324	C₂	—	2	2	no	—
325	C₂	—	2	2	no	—
326	C₂	—	4	4	no	—
327	C₂	—	8	2	no	—
328	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#3068	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#3069	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#575	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#417	C₂	semidirect
5. C₂×#413	C₂	semidirect
6. #1908	C₂	semidirect
7. #1907	C₂	semidirect
8. C₂×#343	C₂	semidirect
9. #1738	C₂	semidirect
13. #575	C₄	semidirect
34. C₂×#103	C₂²	semidirect
36. C₂×#102	C₂²	semidirect
38. C₂×#101	C₂²	semidirect
39. C₂×#100	C₂²	semidirect
40. #343	C₂²	semidirect
41. #341	C₂²	semidirect
70. #137	C₂×C₄	semidirect
73. AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#575	2
C₂×#568	2
C₂×#417	2
C₂×#413	2
#1908	2
#1907	2
C₂×#343	2
#1738	2