Subgroups — #21005

Order 256.

891 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1907	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
12	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
13	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
16	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
17	#568	—	2	4	no	—
18	#568	—	2	4	no	—
19	C₂×#131	—	2	2	no	—
20	C₂×#131	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
22	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#419	—	2	1	no	—
28	#418	—	2	1	no	—
29	#418	—	2	2	no	—
30	#418	—	2	2	no	—
31	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#416	—	2	2	no	—
33	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#100	—	2	4	no	—
35	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#343	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#341	C₂²	1	4	yes	complemented
38	C₂⁵	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	1	no	—
43	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#41	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
57	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
61	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
63	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
64	AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	16	yes	—
65	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
66	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
67	C₂×D₈	—	2	8	no	—
68	C₂×D₈	—	2	4	no	—
69	#131	—	2	16	no	—
70	#131	—	2	8	no	—
71	#131	—	2	8	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
73	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
85	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
87	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#117	—	2	1	no	—
96	#117	—	2	1	no	—
97	#117	—	2	1	no	—
98	#117	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
102	#103	—	2	4	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	#102	—	2	8	no	—
105	#100	—	2	8	no	—
106	C₂⁴	—	2	1	no	—
107	C₂⁴	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	4	1	no	—
110	C₂⁴	—	4	1	no	—
111	C₂⁴	—	4	2	no	—
112	C₂⁴	—	8	4	no	—
113	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
114	#41	—	2	4	no	—
115	#41	—	2	4	no	—
116	#41	—	2	4	no	—
117	#41	—	2	4	no	—
118	#41	—	2	4	no	—
119	#41	—	2	2	no	—
120	#41	—	2	2	no	—
121	#41	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
122	#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	1	no	—
149	C₂×D₄	—	4	1	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	SD₁₆	—	2	16	no	—
171	D₈	—	2	16	no	—
172	M₁₆	—	2	16	no	—
173	M₁₆	—	2	4	no	—
174	M₁₆	—	2	4	no	—
175	M₁₆	—	2	4	no	—
176	M₁₆	—	2	4	no	—
177	M₁₆	—	2	2	no	—
178	M₁₆	—	2	2	no	—
179	M₁₆	—	2	2	no	—
180	M₁₆	—	2	2	no	—
181	M₁₆	—	4	2	no	—
182	M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
183	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₈	—	2	16	no	—
185	C₂×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
198	C₄²	—	4	1	no	—
199	C₄²	—	4	1	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	4	2	no	—
204	C₂³	—	4	2	no	—
205	C₂³	—	4	2	no	—
206	C₂³	—	4	4	no	—
207	C₂³	—	4	4	no	—
208	C₂³	—	8	2	no	—
209	C₂³	—	8	4	no	—
210	C₂³	—	8	4	no	—
211	C₂³	—	8	4	no	—
212	C₂³	—	8	8	no	—
213	C₂³	—	8	8	no	—
214	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
216	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
217	C₂³	#123	1	2	yes	—
218	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	2	2	no	—
220	Q₈	—	2	4	no	—
221	Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	D₄	—	2	4	no	—
223	D₄	—	2	4	no	—
224	D₄	—	2	8	no	—
225	D₄	—	2	4	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	2	2	no	—
228	D₄	—	2	4	no	—
229	D₄	—	4	2	no	—
230	D₄	—	4	2	no	—
231	D₄	—	4	4	no	—
232	D₄	—	4	4	no	—
233	D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₈	—	2	4	no	—
260	C₈	—	2	4	no	—
261	C₈	—	2	4	no	—
262	C₈	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	2	2	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	8	4	no	—
272	C₂²	—	8	4	no	—
273	C₂²	—	8	8	no	—
274	C₂²	—	8	8	no	—
275	C₂²	—	8	4	no	—
276	C₂²	—	8	4	no	—
277	C₂²	#386	1	2	yes	—
278	C₂²	#386	1	2	yes	—
279	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	8	2	no	—
284	C₄	#386	1	2	yes	—
285	C₄	#386	1	2	yes	—
286	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
289	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂	—	2	2	no	—
291	C₂	—	2	1	no	—
292	C₂	—	2	1	no	—
293	C₂	—	2	2	no	—
294	C₂	—	4	4	no	—
295	C₂	—	8	4	no	—
296	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#3068	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#568	C₂	semidirect
3. #2896	C₂	semidirect
4. C₂×#418	C₂	semidirect
5. C₂²×#100	C₂	semidirect
6. #1907	C₂	semidirect
7. #1742	C₂	semidirect
8. #1738	C₂	semidirect
13. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
20. C₂×#131	C₂²	semidirect
31. #417	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
35. C₂×#100	C₂²	semidirect
36. #343	C₂²	semidirect
37. #341	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#568	2
#2896	2
C₂×#418	2
C₂²×#100	2
#1907	2
#1742	2
#1738	2