Subgroups — #21009

Order 256.

854 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 298 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1910	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1909	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#568	—	2	2	no	—
11	#568	—	2	4	no	—
12	#568	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#131	—	2	4	no	—
14	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#537	—	2	2	no	—
17	#536	C₄	1	2	yes	complemented
18	#536	C₂²	1	2	yes	—
19	#535	C₄	1	2	yes	complemented
20	#535	C₂²	1	2	yes	—
21	#534	—	2	2	no	—
22	#532	C₄	1	4	yes	complemented
23	#525	—	2	2	no	—
24	#525	—	2	2	no	—
25	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#417	—	2	4	no	—
30	#416	—	2	4	no	—
31	#410	—	2	2	no	—
32	#410	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#99	—	2	2	no	—
34	H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂×#41	—	2	2	no	—
36	C₂×#41	—	2	2	no	—
37	C₂×#41	—	2	1	no	—
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
54	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
58	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#131	—	2	16	no	—
61	#131	—	2	16	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
73	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	#127	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	#124	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
76	#124	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	#123	—	2	4	no	—
78	#123	—	2	4	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
81	#121	—	2	4	no	—
82	#121	—	2	8	no	—
83	#121	—	2	4	no	—
84	#120	—	2	4	no	—
85	#120	—	2	4	no	—
86	C₄×D₄	—	2	8	no	—
87	#117	—	2	1	no	—
88	#117	—	2	1	no	—
89	#117	—	2	2	no	—
90	#117	—	2	2	no	—
91	#117	—	2	2	no	—
92	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#117	C₂³	1	4	yes	—
94	#117	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
100	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#103	—	2	8	no	—
102	#102	—	2	8	no	—
103	#99	—	2	8	no	—
104	C₂⁴	—	2	1	no	—
105	C₂⁴	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
106	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	#41	—	2	4	no	—
108	#41	—	2	4	no	—
109	#41	—	2	4	no	—
110	#41	—	2	4	no	—
111	#41	—	2	4	no	—
112	#41	—	2	4	no	—
113	#41	—	2	4	no	—
114	#41	—	2	4	no	—
115	#41	—	2	4	no	—
116	#41	—	2	4	no	—
117	#41	—	2	4	no	—
118	#41	—	2	4	no	—
119	#41	—	4	2	no	—
120	#41	—	4	1	no	—
121	#41	—	4	1	no	—
122	#41	—	4	1	no	—
123	#41	—	4	2	no	—
124	#41	—	4	1	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	4	2	no	—
144	C₂×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	M₁₆	—	2	16	no	—
175	M₁₆	—	2	4	no	—
176	M₁₆	—	2	4	no	—
177	M₁₆	—	2	4	no	—
178	M₁₆	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	2	16	no	—
180	C₂×C₈	—	2	4	no	—
181	C₂×C₈	—	2	4	no	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₄²	—	2	2	no	—
195	C₄²	—	2	4	no	—
196	C₄²	—	4	2	no	—
197	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
198	C₂³	—	2	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	4	2	no	—
202	C₂³	—	8	1	no	—
203	C₂³	—	8	2	no	—
204	C₂³	—	8	2	no	—
205	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂³	#121	1	2	yes	—
209	C₂³	#121	1	2	yes	—
210	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	Q₈	—	2	4	no	—
212	Q₈	—	2	4	no	—
213	Q₈	—	2	4	no	—
214	Q₈	—	4	1	no	—
215	Q₈	—	4	1	no	—
216	D₄	—	2	8	no	—
217	D₄	—	2	8	no	—
218	D₄	—	2	4	no	—
219	D₄	—	2	4	no	—
220	D₄	—	2	4	no	—
221	D₄	—	4	2	no	—
222	D₄	—	4	2	no	—
223	D₄	—	4	4	no	—
224	D₄	—	4	1	no	—
225	D₄	—	4	1	no	—
226	D₄	—	8	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂×C₄	—	8	4	no	—
242	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₈	—	2	8	no	—
262	C₂²	—	2	4	no	—
263	C₂²	—	4	1	no	—
264	C₂²	—	4	2	no	—
265	C₂²	—	4	1	no	—
266	C₂²	—	4	1	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	8	2	no	—
273	C₂²	—	8	4	no	—
274	C₂²	#386	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	#386	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	#386	1	2	yes	—
277	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
279	C₄	—	2	4	no	—
280	C₄	—	4	4	no	—
281	C₄	—	4	2	no	—
282	C₄	—	8	4	no	—
283	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
284	C₄	#386	1	2	yes	—
285	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
286	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
288	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
289	C₂	—	2	1	no	—
290	C₂	—	2	2	no	—
291	C₂	—	2	1	no	—
292	C₂	—	2	1	no	—
293	C₂	—	2	2	no	—
294	C₂	—	4	4	no	—
295	C₂	—	8	2	no	—
296	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#386
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂×#386
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#568	C₂	semidirect
3. #2896	C₂	semidirect
4. C₂×#410	C₂	semidirect
5. #1910	C₂	semidirect
6. #1909	C₂	semidirect
7. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
17. #536	C₄	semidirect
19. #535	C₄	semidirect
22. #532	C₄	semidirect
27. #419	C₂²	semidirect
28. #418	C₂²	semidirect
34. H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
69. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
72. C₂²×C₈	D₄	semidirect
73. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
74. #127	C₂×C₄	semidirect
75. #124	C₂×C₄	semidirect
76. #124	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#568	2
#3449	2
#2896	2
C₂×#410	2
#1910	2
#1909	2
C₂×H(3,ℤ/4)	2