Subgroups — #21012

Order 256.

866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3449	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1912	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	#537	—	2	2	no	—
12	#536	C₄	1	2	yes	complemented
13	#536	C₂²	1	2	yes	—
14	#535	C₄	1	2	yes	complemented
15	#535	C₂²	1	2	yes	—
16	#534	—	2	2	no	—
17	#532	C₄	1	4	yes	complemented
18	#525	—	2	2	no	—
19	#525	—	2	2	no	—
20	#520	—	2	4	no	—
21	#519	C₂²	1	2	yes	complemented
22	#518	—	2	2	no	—
23	#518	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₄×#41	—	2	4	no	—
25	C₂×#117	—	2	2	no	—
26	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
28	#421	—	2	4	no	—
29	#421	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#104	—	2	4	no	—
31	#413	—	2	2	no	—
32	#413	—	2	2	no	—
33	C₂×#101	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#100	C₂²	1	2	yes	complemented
35	H(3,ℤ/4)	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×#41	—	2	2	no	—
37	C₂×#41	—	2	2	no	—
38	C₂×#41	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	1	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	2	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	2	no	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
49	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#41	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
56	C₂²×D₄	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
59	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
68	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	#127	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	#124	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	#124	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	#123	—	2	4	no	—
73	#123	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
76	#121	—	2	8	no	—
77	#121	—	2	4	no	—
78	#121	—	2	4	no	—
79	#120	—	2	4	no	—
80	#120	—	2	4	no	—
81	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₄×D₄	—	2	16	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₄×D₄	—	2	8	no	—
85	#117	—	2	4	no	—
86	#117	—	2	4	no	—
87	#117	—	2	2	no	—
88	#117	—	2	4	no	—
89	#117	—	2	2	no	—
90	#117	—	2	1	no	—
91	#117	—	2	1	no	—
92	#117	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
93	#117	D₄	1	4	yes	complemented
94	#117	C₂³	1	2	yes	—
95	#117	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
104	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	complemented
105	#104	—	2	16	no	—
106	#101	—	2	4	no	—
107	#100	—	2	4	no	—
108	C₂⁴	—	2	1	no	—
109	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	#41	—	2	4	no	—
112	#41	—	2	4	no	—
113	#41	—	2	4	no	—
114	#41	—	2	4	no	—
115	#41	—	2	4	no	—
116	#41	—	2	4	no	—
117	#41	—	2	4	no	—
118	#41	—	2	4	no	—
119	#41	—	2	4	no	—
120	#41	—	2	4	no	—
121	#41	—	2	4	no	—
122	#41	—	2	4	no	—
123	#41	—	4	1	no	—
124	#41	—	4	1	no	—
125	#41	—	4	2	no	—
126	#41	—	4	2	no	—
127	#41	—	4	1	no	—
128	#41	—	4	1	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×D₄	—	2	4	no	—
138	C₂×D₄	—	2	4	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	2	no	—
149	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	M₁₆	—	2	4	no	—
180	M₁₆	—	2	4	no	—
181	M₁₆	—	4	2	no	—
182	M₁₆	—	4	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₄²	—	2	8	no	—
200	C₄²	—	2	2	no	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
203	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	2	no	—
207	C₂³	—	4	2	no	—
208	C₂³	—	8	1	no	—
209	C₂³	—	8	2	no	—
210	C₂³	—	8	2	no	—
211	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂³	#120	1	2	yes	—
215	C₂³	#123	1	2	yes	—
216	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	Q₈	—	2	4	no	—
218	Q₈	—	2	4	no	—
219	Q₈	—	2	4	no	—
220	Q₈	—	4	1	no	—
221	Q₈	—	4	1	no	—
222	D₄	—	2	8	no	—
223	D₄	—	2	8	no	—
224	D₄	—	2	4	no	—
225	D₄	—	2	4	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	4	2	no	—
228	D₄	—	4	2	no	—
229	D₄	—	4	4	no	—
230	D₄	—	4	1	no	—
231	D₄	—	4	1	no	—
232	D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	4	no	—
247	C₂×C₄	—	8	8	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#123	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₈	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	4	1	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	4	1	no	—
273	C₂²	—	4	1	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	4	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	8	2	no	—
280	C₂²	—	8	4	no	—
281	C₂²	#386	1	2	yes	—
282	C₂²	#386	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	4	8	no	—
288	C₄	—	4	4	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
291	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#386	1	1	yes	characteristic
294	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
296	C₂	—	2	1	no	—
297	C₂	—	2	1	no	—
298	C₂	—	2	1	no	—
299	C₂	—	2	2	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	4	4	no	—
302	C₂	—	8	2	no	—
303	C₂	C₂×#386	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#386
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂	C₂×#386
prime radical	#3449	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3428	C₂	semidirect
3. C₂×#421	C₂	semidirect
4. C₂×#413	C₂	semidirect
5. #1912	C₂	semidirect
6. #1911	C₂	semidirect
7. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
12. #536	C₄	semidirect
14. #535	C₄	semidirect
17. #532	C₄	semidirect
21. #519	C₂²	semidirect
23. #518	C₂²	semidirect
33. C₂×#101	C₂²	semidirect
34. C₂×#100	C₂²	semidirect
35. H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect
48. C₂×#41	C₂×C₄	semidirect
52. C₂²×Q₈	C₂×C₄	semidirect
55. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
68. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
69. #127	C₂×C₄	semidirect
70. #124	C₂×C₄	semidirect
71. #124	C₂×C₄	semidirect
92. #117	C₂×C₄	semidirect
93. #117	D₄	semidirect
103. C₂×C₄²	C₂×C₄	semidirect
104. C₂×C₄²	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3449	2
#3428	2
C₂×#421	2
C₂×#413	2
#1912	2
#1911	2
C₂×H(3,ℤ/4)	2