Subgroups — #21025

Order 256.

453 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 198 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1917	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1916	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#424	—	2	4	no	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	#405	—	2	4	no	—
21	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#384	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#384	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#382	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#382	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#380	C₄	1	4	yes	—
28	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	#336	C₂²	1	4	yes	—
32	#336	C₂²	1	4	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
53	#117	—	2	2	no	—
54	#117	—	2	2	no	—
55	#117	—	2	2	no	—
56	#117	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
74	#97	—	2	4	no	—
75	C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	M₁₆	—	2	8	no	—
97	M₁₆	—	4	4	no	—
98	C₂×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈	—	4	4	no	—
112	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₄²	—	2	2	no	—
124	C₄²	—	2	2	no	—
125	C₄²	—	2	2	no	—
126	C₄²	—	2	2	no	—
127	C₄²	—	2	2	no	—
128	C₄²	—	2	2	no	—
129	C₄²	—	2	2	no	—
130	C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂³	—	2	2	no	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	#117	1	2	yes	—
134	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
135	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	#123	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	#125	1	4	yes	—
157	C₂×C₄	#126	1	4	yes	—
158	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
159	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₈	—	2	4	no	—
166	C₈	—	2	2	no	—
167	C₈	—	2	2	no	—
168	C₈	—	4	2	no	—
169	C₈	—	4	2	no	—
170	C₂²	—	2	4	no	—
171	C₂²	—	2	2	no	—
172	C₂²	—	2	2	no	—
173	C₂²	—	2	4	no	—
174	C₂²	#387	1	4	yes	—
175	C₂²	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
179	C₂²	#568	1	2	yes	—
180	C₄	—	2	4	no	—
181	C₄	—	4	2	no	—
182	C₄	—	4	2	no	—
183	C₄	—	4	2	no	—
184	C₄	—	4	2	no	—
185	C₄	—	4	2	no	—
186	C₄	#387	1	4	yes	—
187	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
189	C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
190	C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
191	C₂	—	2	4	no	—
192	C₂	C₂×#387	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2924	1	2	yes	—
194	C₂	#2931	1	1	yes	characteristic
195	C₂	#2932	1	1	yes	characteristic
196	C₂	#2962	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1917	C₂	semidirect
5. #1916	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#424	2
C₂×#405	2
#2285	2
#1917	2
#1916	2
#1729	2
#1728	2
C₂×#336	2