Subgroups — #210761

Order 512.

770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 425 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#466	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1451	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9558	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8595	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8284	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#466	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1954	—	2	2	no	—
21	#1954	C₂²	1	2	yes	—
22	#1942	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1939	C₂²	1	2	yes	—
24	#1934	C₄	1	2	yes	—
25	#1923	—	2	2	no	—
26	#1893	C₄	1	2	yes	—
27	#1870	—	2	2	no	—
28	#1851	—	2	2	no	—
29	#1808	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1797	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	#1594	—	2	4	no	—
35	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	#1451	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#466	—	2	4	no	—
57	C₄×D₈	—	2	2	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	#436	—	2	4	no	—
60	#436	—	2	4	no	—
61	#431	—	2	2	no	—
62	#431	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#388	—	2	2	no	—
95	#386	—	2	2	no	—
96	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
99	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#334	—	2	2	no	—
106	#334	—	2	2	no	—
107	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
108	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
109	#322	—	2	2	no	—
110	#322	—	2	2	no	—
111	#322	—	2	2	no	—
112	#322	D₄	1	4	yes	complemented
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	#121	—	2	4	no	—
145	#121	—	4	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	8	2	no	—
151	C₄×D₄	—	8	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	M₁₆	1	4	yes	complemented
173	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
179	#102	—	2	4	no	—
180	#102	—	2	4	no	—
181	#102	—	4	2	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
187	#97	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	1	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	8	2	no	—
197	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
203	#95	—	2	2	no	—
204	#95	—	2	2	no	—
205	#95	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	2	no	—
207	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	D₈	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	8	no	—
248	M₁₆	—	8	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
287	C₄⋊C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	1	no	—
297	C₄²	—	2	1	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	4	2	no	—
301	C₄²	—	4	2	no	—
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	—	2	1	no	—
307	C₂³	—	2	1	no	—
308	C₂³	—	2	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	#444	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	1	no	—
337	C₂×C₄	—	2	1	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	#444	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
370	C₈	—	2	2	no	—
371	C₈	—	2	4	no	—
372	C₈	—	4	2	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	4	1	no	—
375	C₈	—	4	1	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	8	2	no	—
378	C₈	—	8	2	no	—
379	C₈	#436	1	4	yes	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	1	no	—
387	C₂²	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	1	no	—
407	C₄	—	8	2	no	—
408	C₄	—	8	2	no	—
409	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#2930	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#2969	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#2971	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#3062	1	2	yes	—
414	C₄	#3179	1	2	yes	—
415	C₂	—	4	2	no	—
416	C₂	—	16	2	no	—
417	C₂	#18063	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#18064	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#18091	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#18093	1	1	yes	characteristic
421	C₂	#21488	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#21529	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#21546	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#466	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22137	C₂	semidirect
3. C₂×#1594	C₂	semidirect
4. C₂×#1451	C₂	semidirect
5. #9659	C₂	semidirect
6. #9595	C₂	semidirect
7. #9558	C₂	semidirect
8. #9078	C₂	semidirect
9. #8595	C₂	semidirect
10. #8284	C₂	semidirect
11. #8210	C₂	semidirect
112. #322	D₄	semidirect
172. #107	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22137	2
C₄×#466	2
C₂×#1594	2
C₂×#1451	2
#9659	2
#9595	2
#9558	2
#9078	2
#8595	2
#8284	2
#8210	2