Subgroups — #210800

Order 512.

832 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 422 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₈×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9072	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8597	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#469	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
19	#1972	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1954	—	2	2	no	—
21	#1954	C₂²	1	2	yes	—
22	#1944	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1939	C₂²	1	2	yes	—
24	#1936	C₄	1	2	yes	—
25	#1923	—	2	2	no	—
26	#1895	C₄	1	2	yes	—
27	#1869	—	2	2	no	—
28	#1850	—	2	2	no	—
29	#1809	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1797	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₈×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#469	C₈	1	8	yes	complemented
57	C₄×D₈	—	2	2	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	#431	—	2	2	no	—
62	#431	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#388	—	2	2	no	—
97	#386	—	2	2	no	—
98	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#336	—	2	2	no	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#335	—	2	2	no	—
108	#334	—	2	2	no	—
109	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
111	#322	—	2	2	no	—
112	#322	—	2	2	no	—
113	C₈²	—	2	2	no	—
114	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	#121	—	2	4	no	—
148	#121	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	2	no	—
153	C₄×D₄	—	8	2	no	—
154	C₄×D₄	—	8	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	#107	—	2	2	no	—
174	#106	—	2	2	no	—
175	#106	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
176	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
183	#102	—	2	4	no	—
184	#102	—	2	4	no	—
185	#102	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
186	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
192	#97	—	2	2	no	—
193	#97	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	—	2	1	no	—
196	C₄×C₈	—	2	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	1	no	—
198	C₄×C₈	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	1	no	—
201	C₄×C₈	—	8	2	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
208	#95	—	2	2	no	—
209	#95	—	2	2	no	—
210	#95	—	2	2	no	—
211	C₂⁴	—	2	2	no	—
212	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	8	2	no	—
220	C₂×D₄	—	8	2	no	—
221	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	D₈	—	2	8	no	—
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	8	8	no	—
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
291	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	1	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	4	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
309	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	—	4	2	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
322	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
323	D₄	—	2	4	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
370	C₈	—	2	4	no	—
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	2	2	no	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	4	1	no	—
378	C₈	—	4	1	no	—
379	C₈	—	8	2	no	—
380	C₈	—	8	2	no	—
381	C₈	C₈×D₄	1	4	yes	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	4	no	—
388	C₂²	—	4	4	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	8	2	no	—
392	C₂²	—	8	2	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2946	1	2	yes	—
398	C₂²	#2956	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	4	1	no	—
403	C₄	—	4	1	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	8	2	no	—
406	C₄	—	8	2	no	—
407	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
409	C₄	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#2966	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
412	C₄	#3060	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#3179	1	2	yes	—
414	C₂	—	4	2	no	—
415	C₂	—	8	4	no	—
416	C₂	#17852	1	2	yes	—
417	C₂	#17968	1	2	yes	—
418	C₂	C₈×#121	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#21536	1	1	yes	characteristic
420	C₂	#21549	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#469	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22133	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
4. C₂×C₈×M₁₆	C₂	semidirect
5. #9659	C₂	semidirect
6. #9596	C₂	semidirect
7. #9554	C₂	semidirect
8. #9072	C₂	semidirect
9. #8597	C₂	semidirect
10. C₈×#106	C₂	semidirect
11. #8200	C₂	semidirect
56. #469	C₈	semidirect
114. C₈²	D₄	semidirect
123. C₂×D₈	C₂×C₈	semidirect
129. C₂×M₁₆	C₂×C₈	semidirect
148. #121	C₂×C₈	semidirect
175. #106	C₂×C₈	semidirect
185. #102	C₂×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22133	2
C₄×#469	2
C₂×C₈×D₈	2
C₂×C₈×M₁₆	2
#9659	2
#9596	2
#9554	2
#9072	2
#8597	2
C₈×#106	2
#8200	2