Subgroups — #210803

Order 512.

823 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21486	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9560	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8597	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#469	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#435	—	2	2	no	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
20	#1972	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1954	C₂²	1	2	yes	—
22	#1944	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1939	C₂²	1	2	yes	—
24	#1936	C₄	1	2	yes	—
25	#1924	—	2	2	no	—
26	#1895	C₄	1	2	yes	—
27	#1870	—	2	2	no	—
28	#1809	C₄	1	1	yes	characteristic
29	#1797	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1770	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	#1752	—	2	2	no	—
34	C₈×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	#1455	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#469	—	2	4	no	—
59	C₄×D₈	—	2	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	#435	—	4	8	no	—
62	C₈×D₄	—	2	4	no	—
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#106	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂×#97	—	2	1	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#388	—	2	2	no	—
98	#386	—	2	2	no	—
99	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
102	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#336	—	2	2	no	—
106	#336	—	2	2	no	—
107	#336	—	2	2	no	—
108	#335	—	2	2	no	—
109	#334	—	2	2	no	—
110	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
111	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
112	#322	—	2	2	no	—
113	#322	—	2	2	no	—
114	#322	—	2	2	no	—
115	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	#121	—	2	4	no	—
153	#121	—	4	2	no	—
154	C₄×D₄	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	#107	—	2	2	no	—
179	#106	—	2	2	no	—
180	#106	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
186	#102	—	2	4	no	—
187	#102	—	2	4	no	—
188	#102	—	4	2	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
193	#97	—	2	4	no	—
194	#97	—	2	2	no	—
195	#97	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	#97	—	4	4	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	1	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	1	no	—
203	C₄×C₈	—	2	1	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	—	2	2	no	—
213	#95	—	2	2	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	8	2	no	—
224	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	D₈	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	4	8	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	8	8	no	—
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	2	1	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	2	1	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	4	2	no	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
313	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	2	1	no	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	4	2	no	—
326	C₂³	—	4	2	no	—
327	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	D₄	—	2	4	no	—
329	D₄	—	2	4	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	2	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	1	no	—
339	C₂×C₄	—	2	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
375	C₈	—	2	4	no	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	2	2	no	—
378	C₈	—	4	2	no	—
379	C₈	—	4	1	no	—
380	C₈	—	4	1	no	—
381	C₈	—	4	1	no	—
382	C₈	—	4	1	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₈	—	8	2	no	—
385	C₈	#435	1	4	yes	complemented
386	C₈	#469	1	4	yes	complemented
387	C₂²	—	4	1	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	4	1	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	8	2	no	—
397	C₂²	—	8	2	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
400	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
401	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
403	C₂²	#2956	1	2	yes	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	2	1	no	—
406	C₄	—	4	1	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	8	2	no	—
410	C₄	—	8	2	no	—
411	C₄	—	8	2	no	—
412	C₄	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
413	C₄	#2930	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2969	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2970	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3171	1	2	yes	—
419	C₂	—	8	1	no	—
420	C₂	—	8	4	no	—
421	C₂	#18046	1	2	yes	—
422	C₂	#18076	1	2	yes	—
423	C₂	#21486	1	1	yes	characteristic
424	C₂	C₄×#469	1	1	yes	characteristic
425	C₂	#21549	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#469	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21486	C₂	semidirect
3. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
4. C₂×#1455	C₂	semidirect
5. #9659	C₂	semidirect
6. #9596	C₂	semidirect
7. #9560	C₂	semidirect
8. #9078	C₂	semidirect
9. #8597	C₂	semidirect
10. #8283	C₂	semidirect
11. #8202	C₂	semidirect
115. C₈²	D₄	semidirect
124. C₂×D₈	M₁₆	semidirect
385. C₈	#435	semidirect
386. C₈	#469	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#469	2
#21486	2
C₂×C₈×D₈	2
C₂×#1455	2
#9659	2
#9596	2
#9560	2
#9078	2
#8597	2
#8283	2
#8202	2