Subgroups — #210891

Order 512.

765 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 391 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1453	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9665	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9599	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9558	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8598	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8284	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#121	C₂²	1	2	yes	—
18	#2086	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#2075	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2067	C₄	1	2	yes	—
21	#2054	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#2033	C₄	1	2	yes	—
23	#1999	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#1954	—	2	2	no	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1939	C₂²	1	2	yes	—
27	#1923	—	2	2	no	—
28	#1869	—	2	2	no	—
29	#1850	—	2	2	no	—
30	#1797	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	#1580	—	2	4	no	—
35	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	#1453	—	2	4	no	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1279	C₂²	1	2	yes	—
45	#1279	C₂²	1	2	yes	—
46	#1277	C₂²	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂×#121	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₄×D₈	—	2	2	no	—
55	C₄×D₈	—	2	2	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	2	4	no	—
58	#431	—	2	2	no	—
59	#431	—	2	2	no	—
60	#431	—	2	2	no	—
61	#431	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#389	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#388	—	2	2	no	—
93	#386	—	2	2	no	—
94	#380	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
97	#340	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
99	#340	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	#340	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	#336	—	2	2	no	—
103	#336	—	2	2	no	—
104	#334	—	2	2	no	—
105	#334	—	2	2	no	—
106	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
107	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
108	#322	—	2	2	no	—
109	#322	—	2	2	no	—
110	#322	D₄	1	4	yes	complemented
111	C₈²	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
118	C₂×D₈	—	2	4	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	8	2	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	#121	—	2	4	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	8	2	no	—
142	C₄×D₄	—	8	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	2	2	no	—
162	#107	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	8	2	no	—
171	#102	—	2	4	no	—
172	#102	—	2	4	no	—
173	#102	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	8	2	no	—
181	#97	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	8	2	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
195	#95	—	2	2	no	—
196	#95	—	2	2	no	—
197	#95	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	8	2	no	—
207	C₂×D₄	—	8	2	no	—
208	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	D₈	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	—	4	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	8	8	no	—
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
268	C₄⋊C₄	#131	1	4	yes	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	1	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₄²	—	4	2	no	—
283	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
285	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	1	no	—
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	4	2	no	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	D₄	—	2	4	no	—
301	D₄	—	2	4	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	4	2	no	—
304	D₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	2	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	—	2	2	no	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	8	2	no	—
352	C₈	—	8	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	8	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2929	1	2	yes	—
367	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2952	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2956	1	2	yes	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	1	no	—
376	C₄	—	8	2	no	—
377	C₄	—	8	2	no	—
378	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2966	1	2	yes	—
381	C₄	#3062	1	2	yes	—
382	C₄	#3179	1	2	yes	—
383	C₂	—	8	1	no	—
384	C₂	—	8	4	no	—
385	C₂	#17922	1	2	yes	—
386	C₂	#17927	1	2	yes	—
387	C₂	#21491	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#21529	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#21551	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	#1999	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#431 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22133	C₂	semidirect
3. C₂×#1580	C₂	semidirect
4. C₂×#1453	C₂	semidirect
5. #9665	C₂	semidirect
6. #9599	C₂	semidirect
7. #9558	C₂	semidirect
8. #9078	C₂	semidirect
9. #8598	C₂	semidirect
10. #8284	C₂	semidirect
11. C₈×#102	C₂	semidirect
110. #322	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23696	2
#22133	2
C₂×#1580	2
C₂×#1453	2
#9665	2
#9599	2
#9558	2
#9078	2
#8598	2
#8284	2
C₈×#102	2