Subgroups — #21099

Order 256.

527 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2896	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1938	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1937	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#424	—	2	2	no	—
18	#424	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#423	—	2	2	no	—
20	C₂×#104	—	2	4	no	—
21	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
23	#419	C₄	1	2	yes	complemented
24	#418	C₄	1	2	yes	complemented
25	#417	C₄	1	4	yes	complemented
26	#416	C₂²	1	4	yes	—
27	#408	—	2	2	no	—
28	#408	C₂²	1	4	yes	—
29	#407	—	2	2	no	—
30	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#341	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#41	—	2	1	no	—
37	C₂×#41	—	2	1	no	—
38	C₂×#41	—	2	2	no	—
39	C₂×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
49	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	#117	—	2	1	no	—
71	#117	—	2	1	no	—
72	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#117	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
83	#104	—	2	4	no	—
84	#104	—	2	4	no	—
85	#103	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
88	#97	—	2	4	no	—
89	C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂⁴	—	2	1	no	—
91	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
92	#41	—	2	4	no	—
93	#41	—	2	4	no	—
94	#41	—	2	2	no	—
95	#41	—	2	2	no	—
96	#41	—	2	2	no	—
97	#41	—	2	2	no	—
98	#41	—	4	2	no	—
99	#41	—	4	2	no	—
100	#41	—	4	2	no	—
101	#41	—	4	2	no	—
102	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₄	—	2	1	no	—
111	C₂×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂×D₄	—	4	2	no	—
113	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
130	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
131	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	M₁₆	—	2	4	no	—
135	M₁₆	—	2	4	no	—
136	M₁₆	—	2	4	no	—
137	M₁₆	—	2	4	no	—
138	M₁₆	—	2	2	no	—
139	M₁₆	—	2	2	no	—
140	M₁₆	—	2	2	no	—
141	M₁₆	—	2	2	no	—
142	M₁₆	—	4	2	no	—
143	M₁₆	—	4	2	no	—
144	C₂×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂×C₈	—	4	2	no	—
152	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄²	—	2	2	no	—
159	C₄²	—	2	4	no	—
160	C₄²	—	2	2	no	—
161	C₄²	—	2	1	no	—
162	C₄²	—	2	1	no	—
163	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	4	2	no	—
167	C₂³	—	4	2	no	—
168	C₂³	—	8	2	no	—
169	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	#123	1	2	yes	—
172	C₂³	#126	1	2	yes	—
173	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
174	Q₈	—	2	2	no	—
175	Q₈	—	2	2	no	—
176	Q₈	—	4	2	no	—
177	D₄	—	2	2	no	—
178	D₄	—	2	2	no	—
179	D₄	—	4	2	no	—
180	D₄	—	4	2	no	—
181	D₄	—	4	4	no	—
182	D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄	—	8	2	no	—
195	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	#117	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
202	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
203	C₂×C₄	#123	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	#126	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₈	—	2	4	no	—
214	C₈	—	2	4	no	—
215	C₈	—	4	2	no	—
216	C₈	—	4	2	no	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	2	no	—
219	C₂²	—	2	2	no	—
220	C₂²	—	4	2	no	—
221	C₂²	—	4	2	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	4	2	no	—
224	C₂²	—	8	4	no	—
225	C₂²	#388	1	2	yes	—
226	C₂²	#388	1	2	yes	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
230	C₄	—	2	4	no	—
231	C₄	—	4	2	no	—
232	C₄	—	4	4	no	—
233	C₄	—	4	2	no	—
234	C₄	#388	1	2	yes	—
235	C₄	#388	1	2	yes	—
236	C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
237	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
239	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
240	C₂	—	2	1	no	—
241	C₂	—	2	2	no	—
242	C₂	—	2	1	no	—
243	C₂	—	2	2	no	—
244	C₂	—	8	2	no	—
245	C₂	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
246	C₂	#2956	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #2905	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
6. #1938	C₂	semidirect
7. #1937	C₂	semidirect
8. #1738	C₂	semidirect
9. C₂×#339	C₂	semidirect
18. #424	C₂²	semidirect
23. #419	C₄	semidirect
24. #418	C₄	semidirect
25. #417	C₄	semidirect
31. C₂×#97	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
33. #341	C₂²	semidirect
34. #339	C₂²	semidirect
35. #339	C₂²	semidirect
85. #103	C₂×C₄	semidirect
86. #102	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#2905	2
C₂²×#104	2
#2896	2
#2879	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1938	2
#1937	2
#1738	2
C₂×#339	2