Subgroups — #211082

Order 512.

642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23716	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₈×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#17329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9609	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9552	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9097	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8294	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2965	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#2922	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2089	C₄	1	1	yes	characteristic
19	#2078	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#2063	C₄	1	2	yes	—
21	#2051	C₄	1	2	yes	—
22	#2045	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#2018	C₄	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#100	C₂²	1	2	yes	—
26	#1580	—	2	2	no	—
27	#1580	—	2	1	no	—
28	#1580	—	2	1	no	—
29	#1580	—	2	1	no	—
30	#1580	—	2	1	no	—
31	SD₁₆⋊C₈	—	2	2	no	—
32	C₈×SD₁₆	—	2	2	no	—
33	C₈×D₈	—	2	2	no	—
34	#1565	C₂²	1	2	yes	—
35	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1478	C₂²	1	2	yes	—
38	#1477	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	#1460	C₂²	1	2	yes	—
41	#1454	—	2	1	no	—
42	#1453	—	2	1	no	—
43	#1452	—	2	1	no	—
44	#1452	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1451	—	2	1	no	—
46	#1451	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₈×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
48	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1283	C₂²	1	2	yes	—
51	#1283	C₂²	1	2	yes	—
52	#1278	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
56	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
58	#446	—	2	1	no	—
59	C₈×Q₈	D₄	1	2	yes	—
60	#442	—	2	2	no	—
61	#440	—	2	2	no	—
62	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	2	no	—
64	C₄×D₈	—	2	1	no	—
65	C₄×D₈	—	2	1	no	—
66	C₄×D₈	—	2	1	no	—
67	C₄×D₈	—	2	1	no	—
68	#436	—	2	1	no	—
69	#435	—	2	2	no	—
70	C₈×D₄	—	2	2	no	—
71	C₈×D₄	—	2	2	no	—
72	C₈×D₄	—	2	2	no	—
73	C₈×D₄	—	2	2	no	—
74	C₈×D₄	—	2	2	no	—
75	C₈×D₄	D₄	1	2	yes	—
76	#433	—	2	1	no	—
77	#433	—	2	1	no	—
78	#431	—	2	1	no	—
79	#431	—	2	1	no	—
80	#431	—	2	1	no	—
81	#431	—	2	1	no	—
82	#431	C₂³	1	2	yes	—
83	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#428	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#424	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	#424	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
91	#418	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#417	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×#100	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×#100	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#408	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#408	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
99	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
100	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	#343	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#341	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#341	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
110	#335	—	2	2	no	—
111	#335	—	2	1	no	—
112	#334	—	2	2	no	—
113	#334	—	2	1	no	—
114	#334	—	2	1	no	—
115	#334	—	2	1	no	—
116	Q₈⋊C₈	—	2	2	no	—
117	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
118	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
119	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
121	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
122	#323	—	2	4	no	—
123	#322	—	2	2	no	—
124	#322	—	2	1	no	—
125	#322	—	2	1	no	—
126	#322	—	2	1	no	—
127	#322	—	2	1	no	—
128	#322	—	2	1	no	—
129	#322	D₄	1	1	yes	characteristic
130	#322	D₄	1	1	yes	characteristic
131	#322	D₄	1	1	yes	characteristic
132	#322	D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₈²	—	2	2	no	—
134	C₈²	—	2	1	no	—
135	C₂×#41	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
138	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
139	AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×D₈	—	2	2	no	—
142	C₂×D₈	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	1	no	—
144	C₂×D₈	—	2	1	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₄×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	2	no	—
167	C₄×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₄×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
169	#117	—	2	1	no	—
170	#117	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	#108	—	2	4	no	—
176	#107	—	2	1	no	—
177	#107	—	2	1	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#106	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	#103	—	2	2	no	—
192	#102	—	2	2	no	—
193	#102	—	2	2	no	—
194	#102	—	2	2	no	—
195	#102	—	2	2	no	—
196	#102	—	2	2	no	—
197	#100	—	2	4	no	—
198	#100	—	2	4	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	#41	1	2	yes	—
210	#97	—	2	2	no	—
211	#97	—	2	1	no	—
212	#97	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	—	2	1	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	1	no	—
218	C₄×C₈	—	2	2	no	—
219	C₄×C₈	—	2	1	no	—
220	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
228	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂⁴	—	2	2	no	—
230	#41	—	2	2	no	—
231	#41	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	SD₁₆	—	2	8	no	—
253	D₈	—	2	4	no	—
254	D₈	—	2	4	no	—
255	D₈	—	2	8	no	—
256	M₁₆	—	2	2	no	—
257	M₁₆	—	2	2	no	—
258	M₁₆	—	2	2	no	—
259	M₁₆	—	2	2	no	—
260	M₁₆	—	2	2	no	—
261	M₁₆	—	8	2	no	—
262	M₁₆	#131	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	8	2	no	—
277	C₂×C₈	—	8	4	no	—
278	C₂×C₈	—	8	4	no	—
279	C₂×C₈	—	8	1	no	—
280	C₂×C₈	—	8	2	no	—
281	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	2	1	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
304	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	—	2	1	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	8	2	no	—
310	C₂³	—	8	2	no	—
311	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
312	Q₈	—	2	2	no	—
313	D₄	—	2	4	no	—
314	D₄	—	2	2	no	—
315	D₄	—	2	4	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	2	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	—	2	1	no	—
343	C₈	—	2	4	no	—
344	C₈	—	2	1	no	—
345	C₈	—	2	1	no	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	2	2	no	—
348	C₈	—	4	1	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	1	no	—
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	4	1	no	—
354	C₈	—	4	2	no	—
355	C₈	—	8	2	no	—
356	C₈	—	8	2	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	4	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#2966	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#2929	1	2	yes	—
378	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
379	C₄	#3068	1	2	yes	—
380	C₂	—	2	2	no	—
381	C₂	—	8	1	no	—
382	C₂	—	8	4	no	—
383	C₂	#21491	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#21555	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#21559	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	#2018	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₈×AGL(1,ℤ/8)	C₂	semidirect
3. C₂×#1580	C₂	semidirect
4. #17329	C₂	semidirect
5. #9670	C₂	semidirect
6. #9609	C₂	semidirect
7. #9552	C₂	semidirect
8. #9097	C₂	semidirect
9. #8607	C₂	semidirect
10. #8294	C₂	semidirect
11. C₈×#100	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23716	2
C₈×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#1580	2
#17329	2
#9670	2
#9609	2
#9552	2
#9097	2
#8607	2
#8294	2
C₈×#100	2