Subgroups — #21146

Order 256.

557 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 182 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1940	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1939	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1728	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#423	—	2	8	no	—
15	#423	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
20	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#95	C₄	1	2	yes	—
28	#336	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
30	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
41	C₂×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
61	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	#97	—	2	4	no	—
64	C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
74	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	M₁₆	—	2	8	no	—
91	M₁₆	—	2	8	no	—
92	M₁₆	—	4	8	no	—
93	C₂×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	complemented
105	C₄²	—	2	4	no	—
106	C₄²	—	2	4	no	—
107	C₄²	—	2	4	no	—
108	C₄²	—	2	4	no	—
109	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂³	—	2	2	no	—
116	C₂³	—	2	2	no	—
117	C₂³	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄	—	4	16	no	—
132	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
140	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
141	C₂×C₄	#125	1	4	yes	—
142	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
144	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₈	—	2	4	no	—
152	C₈	—	2	4	no	—
153	C₈	—	4	4	no	—
154	C₂²	—	2	2	no	—
155	C₂²	—	2	2	no	—
156	C₂²	—	2	4	no	—
157	C₂²	—	2	4	no	—
158	C₂²	#389	1	4	yes	—
159	C₂²	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
163	C₂²	#568	1	2	yes	—
164	C₄	—	2	2	no	—
165	C₄	—	2	2	no	—
166	C₄	—	2	2	no	—
167	C₄	—	2	8	no	—
168	C₄	—	4	4	no	—
169	C₄	#389	1	4	yes	—
170	C₄	#423	1	4	yes	complemented
171	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
172	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
173	C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
174	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂	—	2	4	no	—
176	C₂	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
177	C₂	C₂×#423	1	1	yes	characteristic
178	C₂	#2905	1	1	yes	characteristic
179	C₂	D₄×M₁₆	1	2	yes	—
180	C₂	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1940	C₂	semidirect
6. #1939	C₂	semidirect
104. C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect
170. C₄	#423	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#423	2
C₂×C₄×M₁₆	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄	2
#1940	2
#1939	2
#1728	2