Subgroups — #211524

Order 512.

909 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21503	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#9734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9564	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9229	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8650	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8276	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#459	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#442	—	2	1	no	—
15	C₂×#442	—	2	1	no	—
16	C₂×#442	—	2	2	no	—
17	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
20	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1982	C₂²	1	2	yes	—
23	#1972	—	2	1	no	—
24	#1972	—	2	1	no	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1948	C₂²	1	2	yes	—
27	#1926	—	2	2	no	—
28	#1879	—	2	2	no	—
29	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1802	C₂²	1	2	yes	—
31	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1767	C₂²	1	2	yes	—
35	#1762	—	2	2	no	—
36	#1753	—	2	1	no	—
37	#1753	—	2	1	no	—
38	#1749	—	2	1	no	—
39	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1687	C₄	1	8	yes	complemented
41	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
45	#1296	C₂²	1	2	yes	—
46	#1296	C₂²	1	2	yes	—
47	#1277	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#459	—	2	4	no	—
63	#459	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	#442	—	4	4	no	—
65	#442	—	4	4	no	—
66	#442	—	4	8	no	—
67	#436	—	2	2	no	—
68	#436	—	2	2	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#436	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×#106	—	2	1	no	—
72	C₂×#106	—	2	1	no	—
73	C₂×#106	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	2	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
86	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×#97	—	2	2	no	—
89	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#390	—	2	2	no	—
98	#390	—	2	2	no	—
99	#390	—	2	2	no	—
100	#384	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#340	—	2	2	no	—
107	#340	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#336	—	2	1	no	—
110	#336	—	2	2	no	—
111	#336	—	2	1	no	—
112	#335	—	2	2	no	—
113	#334	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
114	#331	—	2	4	no	—
115	#331	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	4	no	—
126	C₂×D₈	—	4	2	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	2	no	—
131	C₂×D₈	—	4	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	#127	—	2	2	no	—
147	#127	—	2	2	no	—
148	#127	—	2	2	no	—
149	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	—	4	2	no	—
154	C₄×D₄	—	4	4	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	8	4	no	—
159	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	#106	—	4	2	no	—
181	#106	—	4	2	no	—
182	#106	—	4	4	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
190	C₄⋊C₈	#41	1	2	yes	—
191	#102	—	2	8	no	—
192	#102	—	4	4	no	—
193	#102	—	4	4	no	—
194	#102	—	4	4	no	—
195	#102	—	4	4	no	—
196	#102	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
199	#97	—	2	2	no	—
200	#97	—	2	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	4	1	no	—
203	#97	—	4	2	no	—
204	#97	—	4	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	1	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	4	2	no	—
208	C₄×C₈	—	4	2	no	—
209	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
210	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
211	#95	—	2	2	no	—
212	#95	—	2	1	no	—
213	C₂⁴	—	2	1	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	1	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	8	2	no	—
233	C₂×D₄	—	8	2	no	—
234	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	D₈	—	4	8	no	—
256	D₈	—	4	16	no	—
257	D₈	—	4	8	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	1	no	—
274	C₂×C₈	—	4	1	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
291	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
292	C₄⋊C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
299	C₄²	—	2	1	no	—
300	C₄²	—	2	1	no	—
301	C₄²	—	2	1	no	—
302	C₄²	—	2	2	no	—
303	C₄²	—	2	1	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	4	no	—
307	C₄²	—	4	1	no	—
308	C₄²	—	4	1	no	—
309	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	4	1	no	—
315	C₂³	—	4	1	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	4	1	no	—
328	D₄	—	4	1	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	2	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	1	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	16	8	no	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	—	4	2	no	—
376	C₈	—	4	1	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	—	8	2	no	—
380	C₈	#442	1	4	yes	complemented
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	4	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	—	16	2	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#3036	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#3038	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3055	1	2	yes	—
397	C₂²	#3068	1	2	yes	—
398	C₄	—	2	1	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	4	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	4	2	no	—
404	C₄	—	16	2	no	—
405	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
406	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
407	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3109	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3115	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#3183	1	1	yes	characteristic
411	C₄	#3184	1	1	yes	characteristic
412	C₂	—	8	2	no	—
413	C₂	—	16	4	no	—
414	C₂	#19306	1	2	yes	—
415	C₂	#19320	1	2	yes	—
416	C₂	#21503	1	1	yes	characteristic
417	C₂	#21538	1	1	yes	characteristic
418	C₂	#21555	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#1687	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21690	C₂	semidirect
2. #21503	C₂	semidirect
3. #20494	C₂	semidirect
5. #9734	C₂	semidirect
6. #9612	C₂	semidirect
7. #9564	C₂	semidirect
8. #9229	C₂	semidirect
9. #8650	C₂	semidirect
10. #8276	C₂	semidirect
11. #8231	C₂	semidirect
40. #1687	C₄	semidirect
61. #493	C₂×C₄	semidirect
63. #459	C₂×C₄	semidirect
70. #436	C₂×C₄	semidirect
113. #334	C₂×C₄	semidirect
115. #331	C₂×C₄	semidirect
380. C₈	#442	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21690	2
#21503	2
#20494	2
C₂×#1687	2
#9734	2
#9612	2
#9564	2
#9229	2
#8650	2
#8276	2
#8231	2