Subgroups — #211716

Order 512.

755 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	D₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17900	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9630	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9233	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8268	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8255	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3100	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#444	—	2	1	no	—
15	C₂×#444	—	2	1	no	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#97	—	2	1	no	—
20	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1975	—	2	1	no	—
22	#1975	—	2	1	no	—
23	#1962	C₂²	1	2	yes	—
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1767	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1752	—	2	1	no	—
29	#1752	—	2	1	no	—
30	#1749	—	2	1	no	—
31	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1669	C₄	1	2	yes	complemented
33	#1667	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1665	C₄	1	4	yes	complemented
35	#1581	—	2	4	no	—
36	C₈×D₈	—	2	4	no	—
37	#1571	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1540	C₂²	1	2	yes	—
41	#1502	C₂²	1	2	yes	—
42	#1486	C₂²	1	2	yes	—
43	#1480	C₂²	1	2	yes	—
44	#1450	C₂²	1	2	yes	—
45	#1303	C₂²	1	2	yes	—
46	#1301	C₂²	1	2	yes	—
47	#1276	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#135	—	2	1	no	—
49	C₂×#135	—	2	1	no	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
53	#532	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
57	#495	—	2	1	no	—
58	#495	—	2	1	no	—
59	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
60	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#492	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
62	#480	—	2	2	no	—
63	#474	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#459	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#447	—	2	2	no	—
66	#444	—	4	4	no	—
67	#444	—	4	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#436	—	2	2	no	—
71	C₈×D₄	—	2	2	no	—
72	C₈×D₄	—	2	1	no	—
73	C₈×D₄	—	2	1	no	—
74	C₈×D₄	—	2	2	no	—
75	C₈×D₄	—	2	2	no	—
76	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₈×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₈×D₄	D₄	1	4	yes	—
79	#431	C₂³	1	2	yes	—
80	#431	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×#108	—	2	1	no	—
82	C₂×#108	—	2	1	no	—
83	#423	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#104	—	2	2	no	—
87	C₂×#104	—	2	2	no	—
88	#408	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×#97	—	2	1	no	—
93	C₂×#97	—	2	1	no	—
94	C₂×#97	—	4	4	no	—
95	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#97	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#336	—	2	1	no	—
107	#336	—	2	1	no	—
108	#336	—	2	1	no	—
109	#335	—	2	4	no	—
110	#335	—	2	1	no	—
111	#335	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
112	#334	—	2	1	no	—
113	#334	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
114	#332	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
115	#331	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
116	#327	—	2	4	no	—
117	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
118	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
119	#322	—	2	2	no	—
120	C₈²	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	#135	—	4	2	no	—
126	#135	—	4	2	no	—
127	#135	—	4	2	no	—
128	#135	—	4	2	no	—
129	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	1	no	—
135	C₂×D₈	—	2	1	no	—
136	#131	—	4	4	no	—
137	#131	—	4	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	#124	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	2	no	—
158	#121	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	2	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	—	2	1	no	—
162	C₄×D₄	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#108	—	4	2	no	—
180	#108	—	4	2	no	—
181	#107	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	#104	—	4	4	no	—
191	#104	—	4	4	no	—
192	#102	—	2	4	no	—
193	#102	—	2	4	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	#97	—	4	1	no	—
204	#97	—	4	2	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	#97	D₈	1	4	yes	complemented
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
214	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
216	#95	—	2	2	no	—
217	#95	#41	1	2	yes	—
218	C₂⁴	—	2	1	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	Q₁₆	—	4	2	no	—
249	Q₁₆	—	4	2	no	—
250	SD₁₆	—	4	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	D₈	—	4	8	no	—
254	D₈	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	8	no	—
272	C₂×C₈	—	4	2	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	8	4	no	—
275	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	1	no	—
297	C₄²	—	2	1	no	—
298	C₄²	—	4	4	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	4	1	no	—
302	C₄²	—	8	1	no	—
303	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
304	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	1	no	—
312	C₂³	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	4	2	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	2	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	4	2	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	#444	1	4	yes	complemented
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	1	no	—
330	C₂×C₄	—	4	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	1	no	—
339	C₂×C₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	8	no	—
346	C₂×C₄	—	8	2	no	—
347	C₂×C₄	—	8	2	no	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	2	1	no	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	4	2	no	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	8	2	no	—
365	C₈	—	8	2	no	—
366	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
367	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
368	C₈	#459	1	4	yes	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	4	4	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#3100	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#3106	1	1	yes	characteristic
382	C₄	—	2	1	no	—
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	4	2	no	—
387	C₄	—	8	1	no	—
388	C₄	—	8	2	no	—
389	C₄	—	8	2	no	—
390	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
391	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
392	C₄	C₂×#444	1	2	yes	—
393	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#3035	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	2	1	no	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	4	4	no	—
398	C₂	—	16	2	no	—
399	C₂	C₄×#459	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#21546	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#21559	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	#19101	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21706	C₂	semidirect
2. D₄×#97	C₂	semidirect
4. #17900	C₂	semidirect
5. #9753	C₂	semidirect
6. #9630	C₂	semidirect
7. #9581	C₂	semidirect
8. #9233	C₂	semidirect
9. #8658	C₂	semidirect
10. #8268	C₂	semidirect
11. #8255	C₂	semidirect
32. #1669	C₄	semidirect
33. #1667	C₄	semidirect
34. #1665	C₄	semidirect
59. #494	C₂×C₄	semidirect
60. #493	C₂×C₄	semidirect
61. #492	C₂×C₄	semidirect
111. #335	C₂×C₄	semidirect
113. #334	C₂×C₄	semidirect
114. #332	C₂×C₄	semidirect
115. #331	C₂×C₄	semidirect
207. #97	D₈	semidirect
325. D₄	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21706	2
D₄×#97	2
#19101	2
#17900	2
#9753	2
#9630	2
#9581	2
#9233	2
#8658	2
#8268	2
#8255	2