Subgroups — #211778

Order 512.

746 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21705	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#19133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17928	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#9753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9630	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9577	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9233	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8266	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8255	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3100	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#443	—	2	1	no	—
15	C₂×#443	—	2	1	no	—
16	#2931	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
20	C₄²×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1974	—	2	1	no	—
22	#1974	—	2	1	no	—
23	#1962	C₂²	1	2	yes	—
24	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1753	—	2	1	no	—
29	#1753	—	2	1	no	—
30	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1689	C₄	1	2	yes	complemented
33	#1687	C₄	1	2	yes	complemented
34	#1685	C₄	1	4	yes	complemented
35	#1589	—	2	4	no	—
36	#1581	—	2	4	no	—
37	#1571	C₂²	1	2	yes	—
38	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1564	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1540	C₂²	1	2	yes	—
41	#1502	C₂²	1	2	yes	—
42	#1486	C₂²	1	2	yes	—
43	#1480	C₂²	1	2	yes	—
44	#1450	C₂²	1	2	yes	—
45	#1303	C₂²	1	2	yes	—
46	#1301	C₂²	1	2	yes	—
47	#1276	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#135	—	2	1	no	—
49	C₂×#135	—	2	1	no	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
53	#532	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
57	#495	—	2	1	no	—
58	#495	—	2	1	no	—
59	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
60	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#492	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
62	#480	—	2	2	no	—
63	#474	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#459	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#447	—	2	2	no	—
66	#443	—	4	4	no	—
67	#443	—	4	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	#436	—	2	2	no	—
70	#436	—	2	1	no	—
71	#436	—	2	1	no	—
72	#436	—	2	1	no	—
73	#436	—	2	1	no	—
74	#436	—	2	2	no	—
75	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#436	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#436	D₄	1	2	yes	—
78	#436	D₄	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	C₈×D₄	—	2	2	no	—
81	#431	C₂³	1	2	yes	—
82	#431	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#108	—	2	1	no	—
84	C₂×#108	—	2	1	no	—
85	#423	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#104	—	2	2	no	—
89	C₂×#104	—	2	2	no	—
90	#408	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
93	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂×#97	—	2	1	no	—
95	C₂×#97	—	2	1	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
104	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
107	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	#336	—	2	1	no	—
109	#336	—	2	1	no	—
110	#336	—	2	1	no	—
111	#335	—	2	4	no	—
112	#335	—	2	1	no	—
113	#335	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
114	#334	—	2	1	no	—
115	#334	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
116	#332	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
117	#331	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
118	#327	—	2	4	no	—
119	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
120	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	#322	—	2	2	no	—
122	C₈²	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	#135	—	4	2	no	—
128	#135	—	4	2	no	—
129	#135	—	4	2	no	—
130	#135	—	4	2	no	—
131	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	4	no	—
136	C₂×D₈	—	2	1	no	—
137	C₂×D₈	—	2	1	no	—
138	#131	—	4	4	no	—
139	#131	—	4	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	#124	—	2	2	no	—
160	#121	—	2	2	no	—
161	#121	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	4	4	no	—
167	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
182	#108	—	4	2	no	—
183	#108	—	4	2	no	—
184	#107	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	#104	—	4	4	no	—
194	#104	—	4	4	no	—
195	#102	—	2	4	no	—
196	#102	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
205	#97	—	4	2	no	—
206	#97	—	4	2	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	4	1	no	—
212	C₄×C₈	—	4	2	no	—
213	C₄×C₈	D₈	1	4	yes	complemented
214	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
219	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
220	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
221	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
222	#95	—	2	2	no	—
223	#95	#41	1	2	yes	—
224	C₂⁴	—	2	1	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	Q₁₆	—	4	2	no	—
255	Q₁₆	—	4	2	no	—
256	SD₁₆	—	4	4	no	—
257	SD₁₆	—	4	4	no	—
258	D₈	—	4	2	no	—
259	D₈	—	4	2	no	—
260	D₈	—	8	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	8	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	1	no	—
276	C₂×C₈	—	4	1	no	—
277	C₂×C₈	—	4	1	no	—
278	C₂×C₈	—	4	1	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	8	4	no	—
282	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	1	no	—
306	C₄²	—	2	1	no	—
307	C₄²	—	2	1	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	1	no	—
311	C₄²	—	4	1	no	—
312	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	1	no	—
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	—	4	2	no	—
323	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	8	2	no	—
332	D₄	—	8	2	no	—
333	D₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	1	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	8	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#575	1	1	yes	characteristic
366	C₈	—	2	1	no	—
367	C₈	—	2	1	no	—
368	C₈	—	2	1	no	—
369	C₈	—	2	1	no	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₈	—	4	2	no	—
373	C₈	—	8	2	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
376	C₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
377	C₈	#459	1	2	yes	—
378	C₈	#459	1	2	yes	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	8	2	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	2	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	#3100	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3106	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	2	1	no	—
394	C₄	—	2	1	no	—
395	C₄	—	2	1	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	8	2	no	—
400	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
402	C₄	#2956	1	2	yes	—
403	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#3035	1	1	yes	characteristic
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	8	2	no	—
408	C₂	—	16	2	no	—
409	C₂	C₄×#459	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#21549	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#21558	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	#19133	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21705	C₂	semidirect
2. C₄×#436	C₂	semidirect
4. #17928	C₂	semidirect
5. #9753	C₂	semidirect
6. #9630	C₂	semidirect
7. #9577	C₂	semidirect
8. #9233	C₂	semidirect
9. #8662	C₂	semidirect
10. #8266	C₂	semidirect
11. #8255	C₂	semidirect
32. #1689	C₄	semidirect
33. #1687	C₄	semidirect
34. #1685	C₄	semidirect
59. #494	C₂×C₄	semidirect
60. #493	C₂×C₄	semidirect
61. #492	C₂×C₄	semidirect
113. #335	C₂×C₄	semidirect
115. #334	C₂×C₄	semidirect
116. #332	C₂×C₄	semidirect
117. #331	C₂×C₄	semidirect
213. C₄×C₈	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21705	2
C₄×#436	2
#19133	2
#17928	2
#9753	2
#9630	2
#9577	2
#9233	2
#8662	2
#8266	2
#8255	2