Subgroups — #21181

Order 256.

437 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 183 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2911	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1952	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1951	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1742	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#108	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	#428	—	2	4	no	—
17	#428	C₂²	1	8	yes	—
18	#427	—	2	1	no	—
19	#427	—	2	1	no	—
20	#427	—	2	1	no	—
21	#427	—	2	1	no	—
22	#427	—	2	4	no	—
23	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
25	#405	—	2	1	no	—
26	#405	—	2	1	no	—
27	#405	C₂²	1	2	yes	—
28	#405	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#97	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
31	#343	C₂²	1	8	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
34	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
37	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₈	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#117	—	2	1	no	—
52	#117	—	2	1	no	—
53	#117	—	2	2	no	—
54	#117	—	2	2	no	—
55	#117	—	2	2	no	—
56	#117	—	2	2	no	—
57	#117	D₄	1	2	yes	—
58	#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
65	#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	#107	—	2	2	no	—
68	#107	—	2	2	no	—
69	#107	—	2	8	no	—
70	#106	—	2	2	no	—
71	#106	—	2	2	no	—
72	#106	—	2	8	no	—
73	#97	—	2	2	no	—
74	#97	—	2	2	no	—
75	C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	M₁₆	—	2	8	no	—
91	M₁₆	—	2	4	no	—
92	M₁₆	—	2	4	no	—
93	M₁₆	—	2	2	no	—
94	M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
95	M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
96	C₂×C₈	—	2	8	no	—
97	C₂×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
120	C₄²	—	2	2	no	—
121	C₄²	—	2	2	no	—
122	C₄²	—	4	2	no	—
123	C₄²	—	4	2	no	—
124	C₂³	—	4	2	no	—
125	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
127	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
128	C₂³	#125	1	2	yes	—
129	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄	—	8	4	no	—
134	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄	#125	1	2	yes	—
144	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₈	—	2	8	no	—
153	C₈	—	2	4	no	—
154	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂²	—	2	2	no	—
159	C₂²	—	2	2	no	—
160	C₂²	—	2	2	no	—
161	C₂²	—	4	2	no	—
162	C₂²	—	4	2	no	—
163	C₂²	#389	1	2	yes	—
164	C₂²	#389	1	2	yes	—
165	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
167	C₂²	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
168	C₄	—	4	4	no	—
169	C₄	—	8	4	no	—
170	C₄	#389	1	2	yes	—
171	C₄	#389	1	2	yes	—
172	C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
175	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂	—	2	1	no	—
177	C₂	—	2	1	no	—
178	C₂	—	2	2	no	—
179	C₂	—	2	2	no	—
180	C₂	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
181	C₂	#3067	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#121
prime radical	C₂⁴	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #1952	C₂	semidirect
6. #1951	C₂	semidirect
13. C₂×#108	C₄	semidirect
65. #108	C₂×C₄	semidirect
66. #108	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#108	2
#2911	2
C₂×#427	2
C₂×#405	2
#1952	2
#1951	2
#1742	2