Subgroups — #211853

Order 512.

697 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 437 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21517	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#19125	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17956	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₈×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#9719	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#8667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₈×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#8251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3169	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3035	C₂²	1	2	yes	—
14	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#443	—	2	2	no	—
17	#2931	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#1980	C₂²	1	2	yes	—
20	#1950	C₂²	1	2	yes	—
21	#1929	—	2	2	no	—
22	#1876	—	2	2	no	—
23	#1806	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
26	#1764	—	2	2	no	—
27	#1682	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1681	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1674	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#1673	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1668	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#1667	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#1589	—	2	1	no	—
34	#1589	—	2	1	no	—
35	C₈×D₈	—	2	1	no	—
36	C₈×D₈	—	2	1	no	—
37	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1540	C₂²	1	2	yes	—
40	#1502	C₂²	1	2	yes	—
41	#1492	C₂²	1	2	yes	—
42	#1450	—	2	1	no	—
43	#1450	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₈×M₁₆	—	2	1	no	—
45	C₈×M₁₆	—	2	1	no	—
46	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₈×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₈²	—	2	1	no	—
49	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#1303	C₂²	1	2	yes	—
51	#1301	C₂²	1	2	yes	—
52	#1279	C₂²	1	2	yes	—
53	C₂×#135	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	—	2	2	no	—
55	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#532	C₂³	1	2	yes	—
58	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#500	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	#486	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#466	—	2	1	no	—
63	#466	—	2	1	no	—
64	#464	—	2	2	no	—
65	#463	—	2	2	no	—
66	#462	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#461	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	#460	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#459	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
71	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	#443	—	4	8	no	—
74	C₄×D₈	—	2	1	no	—
75	C₄×D₈	—	2	1	no	—
76	#436	—	2	2	no	—
77	#436	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	1	no	—
79	C₈×D₄	—	2	1	no	—
80	C₈×D₄	—	2	1	no	—
81	C₈×D₄	—	2	2	no	—
82	C₈×D₄	—	2	2	no	—
83	C₈×D₄	—	2	2	no	—
84	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₈×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	#431	—	2	1	no	—
87	#431	—	2	1	no	—
88	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#431	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#108	—	2	2	no	—
91	C₂×#107	—	2	1	no	—
92	#423	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×#104	—	2	2	no	—
95	C₂×#104	—	2	2	no	—
96	C₂×#104	—	2	2	no	—
97	#416	—	2	2	no	—
98	#408	—	2	2	no	—
99	#405	—	2	1	no	—
100	#405	—	2	1	no	—
101	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
104	C₄×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	#341	—	2	2	no	—
114	#340	—	2	1	no	—
115	#339	—	2	2	no	—
116	#336	—	2	2	no	—
117	#335	—	2	1	no	—
118	#335	—	2	1	no	—
119	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
120	#335	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
121	#335	C₂×C₄	1	2	yes	—
122	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
123	#332	C₂×C₄	1	2	yes	—
124	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
125	#331	C₂×C₄	1	2	yes	—
126	#327	—	2	4	no	—
127	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
128	D₄⋊C₈	—	2	2	no	—
129	#322	—	2	1	no	—
130	#322	—	2	1	no	—
131	#322	—	2	1	no	—
132	C₈²	—	2	1	no	—
133	C₈²	—	2	1	no	—
134	C₈²	—	2	1	no	—
135	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₈²	D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×#41	—	2	2	no	—
140	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	#135	—	4	4	no	—
142	#135	—	4	4	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×D₈	—	2	2	no	—
147	C₂×D₈	—	2	1	no	—
148	C₂×D₈	—	2	1	no	—
149	#131	—	2	2	no	—
150	#131	—	2	2	no	—
151	#131	—	2	2	no	—
152	#131	—	4	4	no	—
153	#131	—	4	4	no	—
154	#131	D₈	1	4	yes	complemented
155	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
173	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	#124	—	2	2	no	—
176	#121	—	2	2	no	—
177	#121	—	2	2	no	—
178	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
180	C₄×D₄	—	2	1	no	—
181	C₄×D₄	—	2	1	no	—
182	C₄×D₄	—	2	2	no	—
183	C₄×D₄	—	2	2	no	—
184	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₄×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
192	#108	—	4	4	no	—
193	#107	—	2	4	no	—
194	#107	—	2	1	no	—
195	#107	—	2	1	no	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
203	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
206	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
207	#104	—	4	4	no	—
208	#104	—	4	4	no	—
209	#104	—	4	4	no	—
210	#103	—	2	2	no	—
211	#103	—	2	2	no	—
212	#102	—	2	2	no	—
213	#102	—	2	2	no	—
214	#102	—	2	2	no	—
215	#102	—	2	2	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
217	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
218	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
222	C₂²⋊C₈	#41	1	2	yes	—
223	#97	—	2	1	no	—
224	#97	—	2	1	no	—
225	#97	—	2	1	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	1	no	—
228	C₄×C₈	—	2	1	no	—
229	C₄×C₈	—	2	1	no	—
230	C₄×C₈	—	2	1	no	—
231	C₄×C₈	—	2	1	no	—
232	C₄×C₈	—	2	1	no	—
233	C₄×C₈	—	2	1	no	—
234	C₄×C₈	—	2	1	no	—
235	C₄×C₈	—	4	4	no	—
236	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
245	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
246	#95	—	2	2	no	—
247	#41	—	2	1	no	—
248	#41	—	2	1	no	—
249	#41	—	4	2	no	—
250	#41	—	4	2	no	—
251	#41	—	4	2	no	—
252	#41	—	4	2	no	—
253	#41	C₂×D₈	1	2	yes	—
254	#41	#135	1	2	yes	—
255	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×D₄	—	2	1	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	Q₁₆	—	4	4	no	—
272	SD₁₆	—	4	4	no	—
273	SD₁₆	—	4	4	no	—
274	D₈	—	4	2	no	—
275	D₈	—	4	4	no	—
276	D₈	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	1	no	—
279	M₁₆	—	2	1	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	8	4	no	—
284	M₁₆	C₂×D₈	1	2	yes	—
285	M₁₆	#135	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	1	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	8	4	no	—
309	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
319	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₄²	—	2	1	no	—
333	C₄²	—	2	1	no	—
334	C₄²	—	2	1	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	—	2	1	no	—
342	C₂³	—	4	2	no	—
343	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	1	no	—
345	Q₈	—	4	2	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	C₄×D₈	1	2	yes	—
348	D₄	—	2	2	no	—
349	D₄	—	2	2	no	—
350	D₄	—	2	1	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	D₄	—	8	2	no	—
358	D₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	1	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	1	no	—
365	C₂×C₄	—	2	1	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	1	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#529	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	2	1	no	—
388	C₈	—	2	1	no	—
389	C₈	—	2	1	no	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	1	no	—
392	C₈	—	2	2	no	—
393	C₈	—	2	1	no	—
394	C₈	—	4	2	no	—
395	C₈	—	4	1	no	—
396	C₈	—	4	2	no	—
397	C₈	—	4	2	no	—
398	C₈	—	4	1	no	—
399	C₈	—	4	1	no	—
400	C₈	—	8	2	no	—
401	C₈	#443	1	2	yes	complemented
402	C₈	#466	1	2	yes	—
403	C₈	#466	1	2	yes	—
404	C₂²	—	2	1	no	—
405	C₂²	—	2	1	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	4	1	no	—
408	C₂²	—	4	1	no	—
409	C₂²	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	8	2	no	—
411	C₂²	—	8	2	no	—
412	C₂²	C₄×#121	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#3168	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
415	C₄	—	2	1	no	—
416	C₄	—	2	2	no	—
417	C₄	—	2	1	no	—
418	C₄	—	2	1	no	—
419	C₄	—	4	1	no	—
420	C₄	—	4	1	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	—	8	2	no	—
423	C₄	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
424	C₄	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
425	C₄	C₂×#443	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2955	1	1	yes	characteristic
427	C₄	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#3050	1	1	yes	characteristic
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	4	2	no	—
432	C₂	—	16	2	no	—
433	C₂	#21517	1	1	yes	characteristic
434	C₂	C₄×#466	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#21558	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	#121
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#121
prime radical	#19125	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21517	C₂	semidirect
3. #17956	C₂	semidirect
4. C₈×#131	C₂	semidirect
5. #9719	C₂	semidirect
6. #9624	C₂	semidirect
7. #9590	C₂	semidirect
8. #9208	C₂	semidirect
9. #8667	C₂	semidirect
10. C₈×#107	C₂	semidirect
11. #8251	C₂	semidirect
27. #1682	C₄	semidirect
28. #1681	C₄	semidirect
29. #1674	C₄	semidirect
30. #1673	C₄	semidirect
31. #1668	C₄	semidirect
32. #1667	C₄	semidirect
154. #131	D₈	semidirect
401. C₈	#443	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21517	2
#19125	2
#17956	2
C₈×#131	2
#9719	2
#9624	2
#9590	2
#9208	2
#8667	2
C₈×#107	2
#8251	2