Subgroups — #21206

Order 256.

859 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1961	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1959	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1958	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#535	—	2	4	no	—
17	#535	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#121	—	2	2	no	—
21	C₂×#120	—	2	2	no	—
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#418	—	2	4	no	—
26	#417	—	2	4	no	—
27	#416	—	2	4	no	—
28	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#102	—	2	4	no	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#405	—	2	4	no	—
40	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#389	—	2	2	no	—
43	#385	—	2	2	no	—
44	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂⁵	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
71	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	#127	—	2	4	no	—
78	#127	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	#124	—	2	4	no	—
80	#124	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	#121	—	2	16	no	—
82	#120	—	2	16	no	—
83	#117	—	2	2	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	#117	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
99	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
100	#103	—	2	2	no	—
101	#103	—	2	2	no	—
102	#103	—	2	4	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	#102	—	2	4	no	—
105	#102	—	2	4	no	—
106	#102	—	2	4	no	—
107	#102	—	2	2	no	—
108	#102	—	2	2	no	—
109	#102	—	2	4	no	—
110	#97	—	2	4	no	—
111	C₄×C₈	—	2	4	no	—
112	#95	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	4	no	—
116	C₂⁴	—	4	2	no	—
117	C₂⁴	—	4	2	no	—
118	C₂⁴	—	8	2	no	—
119	C₂⁴	—	8	2	no	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	#41	—	2	8	no	—
122	#41	—	2	8	no	—
123	#41	—	4	4	no	—
124	#41	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	16	no	—
134	C₂×D₄	—	2	8	no	—
135	C₂×D₄	—	2	8	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂×D₄	—	2	1	no	—
146	C₂×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	8	4	no	—
153	C₂×D₄	—	8	4	no	—
154	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	M₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	1	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	1	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
193	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
197	C₄²	—	4	2	no	—
198	C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
199	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	4	1	no	—
205	C₂³	—	4	2	no	—
206	C₂³	—	4	1	no	—
207	C₂³	—	4	2	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	4	no	—
212	C₂³	—	4	8	no	—
213	C₂³	—	8	8	no	—
214	C₂³	—	8	8	no	—
215	C₂³	—	8	4	no	—
216	C₂³	—	8	4	no	—
217	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂³	#124	1	2	yes	—
219	C₂³	#127	1	2	yes	—
220	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	—	2	2	no	—
223	Q₈	—	4	1	no	—
224	Q₈	—	4	1	no	—
225	D₄	—	2	4	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	2	2	no	—
228	D₄	—	2	2	no	—
229	D₄	—	4	8	no	—
230	D₄	—	4	2	no	—
231	D₄	—	4	2	no	—
232	D₄	—	4	1	no	—
233	D₄	—	4	1	no	—
234	D₄	—	4	8	no	—
235	D₄	—	8	16	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	1	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	8	4	no	—
249	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₈	—	2	2	no	—
264	C₈	—	2	2	no	—
265	C₈	—	2	4	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	2	no	—
269	C₂²	—	2	2	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	8	16	no	—
275	C₂²	—	8	2	no	—
276	C₂²	—	8	4	no	—
277	C₂²	—	8	1	no	—
278	C₂²	—	8	2	no	—
279	C₂²	—	8	1	no	—
280	C₂²	—	8	2	no	—
281	C₂²	#390	1	4	yes	—
282	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#576	1	2	yes	—
286	C₂²	#577	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	8	no	—
288	C₄	—	4	2	no	—
289	C₄	—	8	1	no	—
290	C₄	—	8	1	no	—
291	C₄	—	8	2	no	—
292	C₄	#390	1	4	yes	—
293	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
296	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
297	C₂	—	2	4	no	—
298	C₂	—	8	2	no	—
299	C₂	—	8	4	no	—
300	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
301	C₂	#2897	1	2	yes	—
302	C₂	#3136	1	2	yes	—
303	C₂	#3154	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#3155	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#535	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#417	C₂	semidirect
3. C₂×#418	C₂	semidirect
4. C₂×#416	C₂	semidirect
5. C₂²×#102	C₂	semidirect
6. C₂×#405	C₂	semidirect
7. #2317	C₂	semidirect
8. #1961	C₂	semidirect
9. #1959	C₂	semidirect
10. #1958	C₂	semidirect
11. #1957	C₂	semidirect
17. #535	C₄	semidirect
28. C₂×#103	C₂²	semidirect
29. C₂×#103	C₂²	semidirect
30. C₂×#103	C₂²	semidirect
36. C₂×#102	C₂²	semidirect
37. C₂×#102	C₂²	semidirect
38. C₂×#102	C₂²	semidirect
40. C₂×#97	C₂²	semidirect
41. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
44. #384	C₂²	semidirect
45. #382	C₂²	semidirect
70. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
73. C₂²×C₈	D₄	semidirect
78. #127	C₂×C₄	semidirect
80. #124	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#535	2
C₂×#417	2
C₂×#418	2
C₂×#416	2
C₂²×#102	2
C₂×#405	2
#2317	2
#1961	2
#1959	2
#1958	2
#1957	2