Subgroups — #21212

Order 256.

829 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 231 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1964	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
7	#532	—	2	1	no	—
8	#532	—	2	1	no	—
9	#532	—	2	2	no	—
10	#532	—	2	2	no	—
11	#532	—	2	1	no	—
12	#532	—	2	1	no	—
13	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#124	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#410	—	2	16	no	—
22	C₂×#99	C₂²	1	16	yes	—
23	#384	—	2	1	no	—
24	#382	—	2	1	no	—
25	#380	C₂²	1	4	yes	—
26	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
29	#376	—	2	1	no	—
30	C₄³	—	2	1	no	—
31	C₂×#41	—	2	2	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	2	no	—
34	C₂×#41	—	2	2	no	—
35	C₂×#41	—	2	8	no	—
36	C₂×#41	—	2	8	no	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
45	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
47	#127	—	2	1	no	—
48	#127	—	2	2	no	—
49	#127	—	2	1	no	—
50	#124	—	2	2	no	—
51	#124	—	2	2	no	—
52	#124	—	2	4	no	—
53	#121	—	2	4	no	—
54	#121	—	2	4	no	—
55	#121	—	2	4	no	—
56	#121	—	2	4	no	—
57	C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₄×D₄	—	2	4	no	—
60	C₄×D₄	—	2	4	no	—
61	#117	—	2	4	no	—
62	#117	—	2	8	no	—
63	#117	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
81	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
83	#99	—	2	32	no	—
84	#95	—	2	4	no	—
85	#95	—	2	4	no	—
86	C₂⁴	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	#41	—	4	8	no	—
89	#41	—	4	8	no	—
90	#41	—	4	4	no	—
91	#41	—	4	4	no	—
92	#41	—	4	4	no	—
93	#41	—	4	4	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
97	C₂×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
128	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
138	C₄²	—	2	8	no	—
139	C₄²	—	4	8	no	—
140	C₄²	—	4	4	no	—
141	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂³	—	2	4	no	—
152	C₂³	—	2	8	no	—
153	C₂³	—	4	2	no	—
154	C₂³	—	4	8	no	—
155	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
159	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
160	Q₈	—	4	4	no	—
161	Q₈	—	4	4	no	—
162	D₄	—	4	8	no	—
163	D₄	—	4	8	no	—
164	D₄	—	4	4	no	—
165	D₄	—	4	4	no	—
166	D₄	—	4	4	no	—
167	D₄	—	4	4	no	—
168	D₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂×C₄	—	4	8	no	—
182	C₂×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
194	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
195	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
198	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	2	no	—
201	C₂²	—	2	2	no	—
202	C₂²	—	4	2	no	—
203	C₂²	—	4	2	no	—
204	C₂²	—	4	8	no	—
205	C₂²	—	4	4	no	—
206	C₂²	—	8	8	no	—
207	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²	C₂×#121	1	2	yes	—
210	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
211	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
212	C₄	—	2	2	no	—
213	C₄	—	2	2	no	—
214	C₄	—	2	2	no	—
215	C₄	—	4	8	no	—
216	C₄	—	4	4	no	—
217	C₄	—	8	4	no	—
218	C₄	#390	1	2	yes	—
219	C₄	#390	1	2	yes	—
220	C₄	#390	1	2	yes	—
221	C₄	#390	1	2	yes	—
222	C₄	#410	1	4	yes	complemented
223	C₂	—	2	2	no	—
224	C₂	—	2	1	no	—
225	C₂	—	2	2	no	—
226	C₂	—	2	1	no	—
227	C₂	—	8	4	no	—
228	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
229	C₂	C₂×#410	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#410	C₂	semidirect
3. #2285	C₂	semidirect
4. C₄×#117	C₂	semidirect
5. #1964	C₂	semidirect
13. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
14. C₂×#127	C₄	semidirect
15. C₂×#124	C₄	semidirect
17. C₂×C₄×D₄	C₄	semidirect
63. #117	D₄	semidirect
222. C₄	#410	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂×#410	2
#2285	2
C₄×#117	2
#1964	2