Subgroups — #21230

Order 256.

783 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 217 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1973	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1969	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#135	—	2	4	no	—
11	C₂×#135	—	2	4	no	—
12	C₂×#135	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#107	—	2	4	no	—
21	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
23	#417	—	2	8	no	—
24	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
26	#405	—	2	4	no	—
27	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#391	C₂²	1	4	yes	—
30	#390	C₂²	1	4	yes	—
31	#386	—	2	4	no	—
32	#380	—	2	4	no	—
33	C₂×#41	—	2	4	no	—
34	C₂×#41	—	2	4	no	—
35	C₂×#41	—	2	4	no	—
36	C₂×#41	—	2	4	no	—
37	C₂×#41	—	2	4	no	—
38	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
43	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#135	—	2	32	no	—
46	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
52	C₂×D₈	—	2	2	no	—
53	C₂×D₈	—	2	2	no	—
54	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
55	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#117	—	2	2	no	—
65	#117	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	#107	—	2	4	no	—
75	#107	—	2	4	no	—
76	#103	—	2	8	no	—
77	#102	—	2	8	no	—
78	#97	—	2	4	no	—
79	C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	#95	—	2	8	no	—
81	C₂⁴	—	2	2	no	—
82	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	#41	—	2	16	no	—
84	#41	—	2	16	no	—
85	#41	—	4	8	no	—
86	#41	—	4	8	no	—
87	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂×D₄	—	4	4	no	—
101	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
107	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	Q₁₆	—	2	8	no	—
119	SD₁₆	—	2	16	no	—
120	D₈	—	2	8	no	—
121	M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
125	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
138	C₄²	—	2	2	no	—
139	C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂³	—	2	2	no	—
141	C₂³	—	2	2	no	—
142	C₂³	—	2	4	no	—
143	C₂³	—	4	2	no	—
144	C₂³	—	4	2	no	—
145	C₂³	—	4	4	no	—
146	C₂³	—	4	4	no	—
147	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
148	C₂³	#121	1	2	yes	—
149	C₂³	#127	1	2	yes	—
150	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	Q₈	—	2	4	no	—
152	Q₈	—	2	4	no	—
153	Q₈	—	4	2	no	—
154	Q₈	—	4	2	no	—
155	D₄	—	2	4	no	—
156	D₄	—	2	4	no	—
157	D₄	—	4	16	no	—
158	D₄	—	4	2	no	—
159	D₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄	—	4	16	no	—
167	C₂×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄	—	8	8	no	—
170	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
174	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
183	C₈	—	2	4	no	—
184	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂²	—	2	2	no	—
187	C₂²	—	2	2	no	—
188	C₂²	—	2	4	no	—
189	C₂²	—	2	4	no	—
190	C₂²	—	4	8	no	—
191	C₂²	—	4	4	no	—
192	C₂²	—	8	2	no	—
193	C₂²	—	8	2	no	—
194	C₂²	—	8	4	no	—
195	C₂²	#390	1	4	yes	—
196	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
199	C₂²	#576	1	2	yes	—
200	C₂²	#578	1	2	yes	—
201	C₄	—	4	4	no	—
202	C₄	—	4	4	no	—
203	C₄	—	8	4	no	—
204	C₄	#390	1	4	yes	—
205	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
208	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
209	C₂	—	2	4	no	—
210	C₂	—	8	4	no	—
211	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
212	C₂	#2951	1	2	yes	—
213	C₂	#3061	1	2	yes	—
214	C₂	#3155	1	1	yes	characteristic
215	C₂	#3156	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#107	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#405	C₂	semidirect
5. #2311	C₂	semidirect
6. #1973	C₂	semidirect
7. #1970	C₂	semidirect
8. #1969	C₂	semidirect
12. C₂×#135	C₄	semidirect
48. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
51. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
124. C₂×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂²×#107	2
C₂×#417	2
C₂×#405	2
#2311	2
#1973	2
#1970	2
#1969	2