Subgroups — #21231

Order 256.

815 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 247 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#419	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1973	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#1968	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
14	C₂²×SD₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#427	—	2	4	no	—
23	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#419	—	2	4	no	—
26	#418	—	2	4	no	—
27	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
29	#405	—	2	4	no	—
30	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#391	—	2	2	no	—
33	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#390	—	2	2	no	—
35	#390	C₂²	1	4	yes	—
36	#381	—	2	2	no	—
37	#379	—	2	2	no	—
38	C₂⁵	—	2	1	no	—
39	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
56	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
58	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#117	—	2	2	no	—
74	#117	—	2	2	no	—
75	#117	—	2	2	no	—
76	#117	—	2	2	no	—
77	#117	—	2	2	no	—
78	#117	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
89	#107	—	2	4	no	—
90	#106	—	2	4	no	—
91	#103	—	2	8	no	—
92	#102	—	2	8	no	—
93	#97	—	2	4	no	—
94	C₄×C₈	—	2	4	no	—
95	#95	—	2	8	no	—
96	C₂⁴	—	2	2	no	—
97	C₂⁴	—	2	4	no	—
98	C₂⁴	—	4	2	no	—
99	C₂⁴	—	4	2	no	—
100	C₂⁴	—	8	4	no	—
101	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
111	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
112	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
113	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
114	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂×D₄	—	2	8	no	—
116	C₂×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	4	4	no	—
124	C₂×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
141	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	SD₁₆	—	2	16	no	—
144	SD₁₆	—	2	16	no	—
145	M₁₆	—	2	8	no	—
146	C₂×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
149	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
165	C₄²	—	2	2	no	—
166	C₄²	—	2	2	no	—
167	C₄²	—	4	2	no	—
168	C₄²	—	4	2	no	—
169	C₂³	—	2	4	no	—
170	C₂³	—	2	4	no	—
171	C₂³	—	4	2	no	—
172	C₂³	—	4	2	no	—
173	C₂³	—	4	8	no	—
174	C₂³	—	4	8	no	—
175	C₂³	—	8	8	no	—
176	C₂³	—	8	8	no	—
177	C₂³	—	8	8	no	—
178	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂³	#121	1	2	yes	—
180	C₂³	#127	1	2	yes	—
181	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	Q₈	—	2	4	no	—
183	Q₈	—	2	4	no	—
184	Q₈	—	4	2	no	—
185	Q₈	—	4	2	no	—
186	Q₈	—	4	8	no	—
187	D₄	—	2	4	no	—
188	D₄	—	2	4	no	—
189	D₄	—	4	2	no	—
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
206	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₈	—	2	4	no	—
216	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²	—	2	4	no	—
219	C₂²	—	2	4	no	—
220	C₂²	—	2	4	no	—
221	C₂²	—	4	8	no	—
222	C₂²	—	4	4	no	—
223	C₂²	—	8	16	no	—
224	C₂²	—	8	4	no	—
225	C₂²	—	8	4	no	—
226	C₂²	#390	1	4	yes	—
227	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	#577	1	4	yes	—
231	C₄	—	4	4	no	—
232	C₄	—	4	4	no	—
233	C₄	—	8	2	no	—
234	C₄	—	8	2	no	—
235	C₄	#390	1	4	yes	—
236	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
239	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
240	C₂	—	2	4	no	—
241	C₂	—	8	4	no	—
242	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#2949	1	2	yes	—
244	C₂	#3057	1	2	yes	—
245	C₂	#3154	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#427	C₂	semidirect
3. C₂×#419	C₂	semidirect
5. C₂×#405	C₂	semidirect
6. #2310	C₂	semidirect
8. #1973	C₂	semidirect
9. #1968	C₂	semidirect
14. C₂²×SD₁₆	C₄	semidirect
23. C₂×#107	C₂²	semidirect
24. C₂×#106	C₂²	semidirect
27. C₂×#103	C₂²	semidirect
30. C₂×#97	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
33. #391	C₂²	semidirect
148. C₂×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×SD₁₆	2
C₂×#427	2
C₂×#419	2
C₂×#418	2
C₂×#405	2
#2310	2
#2309	2
#1973	2
#1968	2