Subgroups — #21235

Order 256.

839 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#416	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#102	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1973	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1968	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#428	—	2	4	no	—
25	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#416	—	2	4	no	—
28	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×#103	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂×#102	—	2	4	no	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×#102	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#405	—	2	4	no	—
36	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#390	—	2	2	no	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#386	—	2	2	no	—
44	#380	—	2	2	no	—
45	#379	—	2	2	no	—
46	C₂⁵	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
68	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
69	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×D₈	—	2	4	no	—
72	C₂×D₈	—	2	4	no	—
73	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#117	—	2	2	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	#117	—	2	2	no	—
86	#117	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
101	#107	—	2	4	no	—
102	#106	—	2	4	no	—
103	#103	—	2	2	no	—
104	#103	—	2	2	no	—
105	#102	—	2	4	no	—
106	#102	—	2	4	no	—
107	#102	—	2	2	no	—
108	#102	—	2	2	no	—
109	#97	—	2	4	no	—
110	C₄×C₈	—	2	4	no	—
111	#95	—	2	4	no	—
112	C₂⁴	—	2	1	no	—
113	C₂⁴	—	2	2	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	4	2	no	—
116	C₂⁴	—	4	2	no	—
117	C₂⁴	—	8	2	no	—
118	C₂⁴	—	8	2	no	—
119	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	#41	—	2	8	no	—
121	#41	—	2	8	no	—
122	#41	—	4	4	no	—
123	#41	—	4	4	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×D₄	—	2	1	no	—
136	C₂×D₄	—	2	1	no	—
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	1	no	—
142	C₂×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂×D₄	—	2	1	no	—
144	C₂×D₄	—	4	2	no	—
145	C₂×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	4	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×D₄	—	4	2	no	—
150	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	SD₁₆	—	2	16	no	—
171	D₈	—	2	16	no	—
172	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
173	C₂×C₈	—	2	8	no	—
174	C₂×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂×C₈	—	2	1	no	—
176	C₂×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	4	2	no	—
199	C₂³	—	2	2	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	—	2	2	no	—
202	C₂³	—	2	4	no	—
203	C₂³	—	4	1	no	—
204	C₂³	—	4	2	no	—
205	C₂³	—	4	1	no	—
206	C₂³	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	4	2	no	—
208	C₂³	—	4	4	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	2	no	—
211	C₂³	—	4	8	no	—
212	C₂³	—	8	8	no	—
213	C₂³	—	8	4	no	—
214	C₂³	—	8	4	no	—
215	C₂³	—	8	8	no	—
216	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂³	#121	1	2	yes	—
218	C₂³	#127	1	2	yes	—
219	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	Q₈	—	2	2	no	—
221	Q₈	—	2	2	no	—
222	Q₈	—	4	1	no	—
223	Q₈	—	4	1	no	—
224	D₄	—	2	2	no	—
225	D₄	—	2	4	no	—
226	D₄	—	2	4	no	—
227	D₄	—	2	2	no	—
228	D₄	—	4	8	no	—
229	D₄	—	4	2	no	—
230	D₄	—	4	1	no	—
231	D₄	—	4	2	no	—
232	D₄	—	4	1	no	—
233	D₄	—	4	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄	—	4	1	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂×C₄	—	4	1	no	—
243	C₂×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	8	4	no	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₈	—	2	2	no	—
262	C₈	—	2	2	no	—
263	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	8	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	8	16	no	—
273	C₂²	—	8	1	no	—
274	C₂²	—	8	2	no	—
275	C₂²	—	8	1	no	—
276	C₂²	—	8	2	no	—
277	C₂²	—	8	2	no	—
278	C₂²	—	8	4	no	—
279	C₂²	#390	1	4	yes	—
280	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#576	1	2	yes	—
284	C₂²	#577	1	2	yes	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	4	no	—
287	C₄	—	8	1	no	—
288	C₄	—	8	1	no	—
289	C₄	—	8	2	no	—
290	C₄	#390	1	4	yes	—
291	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
294	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
295	C₂	—	2	4	no	—
296	C₂	—	8	2	no	—
297	C₂	—	8	4	no	—
298	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#2946	1	2	yes	—
300	C₂	#3062	1	2	yes	—
301	C₂	#3154	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#3155	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
3. C₂×#416	C₂	semidirect
4. C₂²×#102	C₂	semidirect
5. C₂×#405	C₂	semidirect
6. #2311	C₂	semidirect
7. #2309	C₂	semidirect
8. #1973	C₂	semidirect
9. #1972	C₂	semidirect
10. #1970	C₂	semidirect
11. #1968	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
25. C₂×#107	C₂²	semidirect
26. C₂×#106	C₂²	semidirect
28. C₂×#103	C₂²	semidirect
29. C₂×#103	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
34. C₂×#102	C₂²	semidirect
36. C₂×#97	C₂²	semidirect
37. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
70. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
73. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
172. M₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#428	2
C₂×#416	2
C₂²×#102	2
C₂×#405	2
#2311	2
#2309	2
#1973	2
#1972	2
#1970	2
#1968	2