Subgroups — #21236

Order 256.

891 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#418	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1973	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1970	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1968	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
15	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#428	—	2	4	no	—
26	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#418	—	2	4	no	—
29	#417	—	2	4	no	—
30	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#390	—	2	2	no	—
40	#390	C₂²	1	2	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#386	—	2	2	no	—
45	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂⁵	—	2	1	no	—
47	C₂×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#41	—	2	2	no	—
49	C₂×#41	—	2	2	no	—
50	C₂×#41	—	2	2	no	—
51	C₂×#41	—	2	2	no	—
52	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
66	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	AGL(1,ℤ/8)	—	2	32	no	—
69	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
70	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
71	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×D₈	—	2	4	no	—
73	C₂×D₈	—	2	4	no	—
74	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
77	C₂×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
80	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#117	—	2	2	no	—
84	#117	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
100	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#107	—	2	4	no	—
104	#106	—	2	4	no	—
105	#103	—	2	4	no	—
106	#102	—	2	4	no	—
107	#102	—	2	4	no	—
108	#102	—	2	4	no	—
109	#97	—	2	4	no	—
110	C₄×C₈	—	2	4	no	—
111	#95	—	2	2	no	—
112	#95	—	2	2	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	1	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	4	4	no	—
117	C₂⁴	—	4	4	no	—
118	C₂⁴	—	4	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	2	no	—
120	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	#41	—	2	8	no	—
122	#41	—	2	8	no	—
123	#41	—	4	4	no	—
124	#41	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
130	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	2	no	—
136	C₂×D₄	—	2	1	no	—
137	C₂×D₄	—	2	1	no	—
138	C₂×D₄	—	2	1	no	—
139	C₂×D₄	—	2	2	no	—
140	C₂×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂×D₄	—	2	1	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	1	no	—
145	C₂×D₄	—	4	2	no	—
146	C₂×D₄	—	4	2	no	—
147	C₂×D₄	—	4	4	no	—
148	C₂×D₄	—	4	2	no	—
149	C₂×D₄	—	4	4	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	SD₁₆	—	2	16	no	—
176	D₈	—	2	16	no	—
177	M₁₆	—	2	8	no	—
178	M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
197	C₄²	—	2	4	no	—
198	C₄²	—	2	1	no	—
199	C₄²	—	2	1	no	—
200	C₄²	—	2	1	no	—
201	C₄²	—	2	1	no	—
202	C₄²	—	4	2	no	—
203	C₂³	—	2	2	no	—
204	C₂³	—	2	2	no	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	4	16	no	—
208	C₂³	—	4	1	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	—	4	1	no	—
211	C₂³	—	4	2	no	—
212	C₂³	—	4	4	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	8	no	—
217	C₂³	—	8	4	no	—
218	C₂³	—	8	4	no	—
219	C₂³	—	8	8	no	—
220	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂³	#121	1	2	yes	—
222	C₂³	#127	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	Q₈	—	2	2	no	—
225	Q₈	—	2	2	no	—
226	Q₈	—	4	1	no	—
227	Q₈	—	4	1	no	—
228	D₄	—	2	2	no	—
229	D₄	—	2	4	no	—
230	D₄	—	2	4	no	—
231	D₄	—	2	2	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	4	2	no	—
234	D₄	—	4	1	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	—	4	1	no	—
237	D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	1	no	—
247	C₂×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂×C₄	—	4	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	complemented
263	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₈	—	2	4	no	—
270	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	4	no	—
274	C₂²	—	2	4	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	4	8	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	4	no	—
279	C₂²	—	8	16	no	—
280	C₂²	—	8	1	no	—
281	C₂²	—	8	2	no	—
282	C₂²	—	8	1	no	—
283	C₂²	—	8	2	no	—
284	C₂²	—	8	2	no	—
285	C₂²	—	8	4	no	—
286	C₂²	#390	1	4	yes	—
287	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
291	C₂²	#575	1	2	yes	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	2	no	—
295	C₄	—	8	1	no	—
296	C₄	—	8	2	no	—
297	C₄	—	8	1	no	—
298	C₄	#390	1	4	yes	—
299	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
302	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
303	C₂	—	2	4	no	—
304	C₂	—	8	2	no	—
305	C₂	—	8	4	no	—
306	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
308	C₂	#3055	1	2	yes	—
309	C₂	#3151	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#3153	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#428	C₂	semidirect
3. C₂×#417	C₂	semidirect
4. C₂×#418	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
6. #2297	C₂	semidirect
7. C₂×#390	C₂	semidirect
8. #1973	C₂	semidirect
9. #1972	C₂	semidirect
10. #1970	C₂	semidirect
11. #1968	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₄	semidirect
26. C₂×#107	C₂²	semidirect
27. C₂×#106	C₂²	semidirect
30. C₂×#103	C₂²	semidirect
33. C₂×#102	C₂²	semidirect
35. C₂×#97	C₂²	semidirect
36. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
37. #391	C₂²	semidirect
38. #391	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #390	C₂²	semidirect
71. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
74. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
178. M₁₆	C₂²⋊C₄	semidirect
262. C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	semidirect
270. C₈	C₂×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×AGL(1,ℤ/8)	2
C₂×#428	2
C₂×#417	2
C₂×#418	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#2297	2
C₂×#390	2
#1973	2
#1972	2
#1970	2
#1968	2