Subgroups — #21248

Order 256.

729 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 260 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1979	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#1978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1977	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#135	—	2	1	no	—
11	C₂×#135	—	2	1	no	—
12	C₂×#135	—	2	1	no	—
13	C₂×#135	—	2	1	no	—
14	C₂×#135	—	2	4	no	—
15	C₂×#135	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#108	—	2	4	no	—
24	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	—
26	#419	C₂²	1	4	yes	—
27	#418	C₂²	1	4	yes	—
28	#417	—	2	4	no	—
29	#416	—	2	4	no	—
30	#413	—	2	8	no	—
31	C₂×#101	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#100	C₂²	1	4	yes	—
33	#405	—	2	1	no	—
34	#405	—	2	1	no	—
35	#405	C₂²	1	2	yes	—
36	#405	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#97	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
39	C₂×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×#41	—	2	2	no	—
41	C₂×#41	—	2	2	no	—
42	C₂×#41	—	2	4	no	—
43	C₂×#41	—	2	2	no	—
44	C₂×#41	—	2	2	no	—
45	C₂×#41	—	2	4	no	—
46	C₂×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#135	—	2	8	no	—
53	#135	—	2	8	no	—
54	#135	—	2	8	no	—
55	#135	—	2	8	no	—
56	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
57	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×D₈	—	2	1	no	—
65	C₂×D₈	—	2	1	no	—
66	C₂×D₈	—	2	2	no	—
67	C₂×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
69	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
72	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₂×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
77	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#117	—	2	1	no	—
87	#117	—	2	1	no	—
88	#117	D₄	1	2	yes	—
89	#117	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
93	#108	—	2	4	no	—
94	#108	—	2	4	no	—
95	#103	—	2	8	no	—
96	#102	—	2	8	no	—
97	#101	—	2	8	no	—
98	#100	—	2	8	no	—
99	#97	—	2	2	no	—
100	#97	—	2	2	no	—
101	C₄×C₈	—	2	2	no	—
102	C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂⁴	—	2	2	no	—
104	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
105	#41	—	2	8	no	—
106	#41	—	2	8	no	—
107	#41	—	2	8	no	—
108	#41	—	2	8	no	—
109	#41	—	4	4	no	—
110	#41	—	4	4	no	—
111	#41	—	4	4	no	—
112	#41	—	4	4	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂×D₄	—	2	2	no	—
124	C₂×D₄	—	2	2	no	—
125	C₂×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂×D₄	—	4	2	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	Q₁₆	—	2	4	no	—
146	Q₁₆	—	2	4	no	—
147	SD₁₆	—	2	8	no	—
148	SD₁₆	—	2	8	no	—
149	D₈	—	2	4	no	—
150	D₈	—	2	4	no	—
151	M₁₆	—	2	4	no	—
152	M₁₆	—	2	2	no	—
153	M₁₆	—	2	4	no	—
154	M₁₆	—	2	4	no	—
155	M₁₆	—	4	4	no	—
156	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂×C₈	—	4	4	no	—
161	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄²	—	2	2	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	4	2	no	—
181	C₂³	—	4	2	no	—
182	C₂³	—	4	2	no	—
183	C₂³	—	8	4	no	—
184	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
185	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	#121	1	1	yes	characteristic
187	C₂³	#124	1	2	yes	—
188	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	Q₈	—	2	4	no	—
190	Q₈	—	2	4	no	—
191	Q₈	—	4	2	no	—
192	Q₈	—	4	2	no	—
193	D₄	—	2	4	no	—
194	D₄	—	2	4	no	—
195	D₄	—	4	8	no	—
196	D₄	—	4	8	no	—
197	D₄	—	4	2	no	—
198	D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	#121	1	2	yes	—
213	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
216	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₈	—	2	4	no	—
225	C₈	—	4	4	no	—
226	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
227	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
228	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
229	C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²	—	2	2	no	—
231	C₂²	—	2	2	no	—
232	C₂²	—	2	2	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	—	4	2	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	8	4	no	—
237	C₂²	—	8	4	no	—
238	C₂²	—	8	4	no	—
239	C₂²	#390	1	2	yes	—
240	C₂²	#390	1	2	yes	—
241	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	—	4	4	no	—
246	C₄	#390	1	2	yes	—
247	C₄	#390	1	2	yes	—
248	C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
251	C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
252	C₂	—	2	1	no	—
253	C₂	—	2	1	no	—
254	C₂	—	2	2	no	—
255	C₂	—	2	2	no	—
256	C₂	—	8	4	no	—
257	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
258	C₂	#3067	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#121
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#121
prime radical	C₂²×#135	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#108	C₂	semidirect
3. #2896	C₂	semidirect
4. C₂×#413	C₂	semidirect
5. C₂×#405	C₂	semidirect
6. #1979	C₂	semidirect
7. #1978	C₂	semidirect
8. #1977	C₂	semidirect
15. C₂×#135	C₄	semidirect
59. C₂×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#135	2
C₂²×#108	2
#2896	2
C₂×#413	2
C₂×#405	2
#1979	2
#1978	2
#1977	2