Subgroups — #21252

Order 256.

805 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 228 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#421	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1980	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	#532	—	2	1	no	—
9	#532	—	2	1	no	—
10	#532	—	2	1	no	—
11	#532	—	2	1	no	—
12	#532	C₄	1	4	yes	complemented
13	#532	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂×#127	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#124	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#121	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#421	—	2	16	no	—
22	C₂×#104	C₂²	1	16	yes	complemented
23	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
24	C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#97	—	2	1	no	—
26	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
27	#384	—	2	1	no	—
28	#382	—	2	1	no	—
29	#380	—	2	2	no	—
30	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#41	—	2	2	no	—
32	C₂×#41	—	2	2	no	—
33	C₂×#41	—	2	8	no	—
34	C₂×#41	—	2	8	no	—
35	C₂×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
47	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
49	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#127	—	2	1	no	—
53	#127	—	2	1	no	—
54	#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#124	—	2	2	no	—
56	#124	—	2	2	no	—
57	#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#121	—	2	4	no	—
59	#121	—	2	4	no	—
60	#121	—	2	4	no	—
61	#121	—	2	4	no	—
62	C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	#117	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#104	—	2	32	no	—
83	#97	—	2	4	no	—
84	C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	#95	—	2	4	no	—
86	C₂⁴	—	2	2	no	—
87	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	#41	—	2	16	no	—
89	#41	—	2	8	no	—
90	#41	—	2	8	no	—
91	#41	—	4	8	no	—
92	#41	—	4	4	no	—
93	#41	—	4	4	no	—
94	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
96	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂×D₄	—	4	8	no	—
104	C₂×D₄	—	4	4	no	—
105	C₂×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	M₁₆	—	2	8	no	—
128	M₁₆	—	2	4	no	—
129	M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
130	C₂×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂×C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₄²	—	2	8	no	—
140	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³	—	2	4	no	—
151	C₂³	—	4	2	no	—
152	C₂³	—	4	8	no	—
153	C₂³	—	4	4	no	—
154	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂³	#124	1	2	yes	—
157	C₂³	#127	1	2	yes	—
158	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	Q₈	—	2	8	no	—
160	Q₈	—	4	4	no	—
161	D₄	—	2	8	no	—
162	D₄	—	4	8	no	—
163	D₄	—	4	4	no	—
164	D₄	—	4	4	no	—
165	D₄	—	4	8	no	—
166	D₄	—	4	4	no	—
167	D₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
189	C₂×C₄	#121	1	4	yes	—
190	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
191	C₂×C₄	#127	1	2	yes	—
192	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
196	C₈	—	2	8	no	—
197	C₂²	—	2	2	no	—
198	C₂²	—	2	2	no	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	4	2	no	—
201	C₂²	—	4	2	no	—
202	C₂²	—	4	8	no	—
203	C₂²	—	4	4	no	—
204	C₂²	—	8	8	no	—
205	C₂²	#390	1	2	yes	—
206	C₂²	#390	1	2	yes	—
207	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
210	C₄	—	2	2	no	—
211	C₄	—	2	2	no	—
212	C₄	—	2	2	no	—
213	C₄	—	4	4	no	—
214	C₄	—	8	4	no	—
215	C₄	#390	1	2	yes	—
216	C₄	#390	1	2	yes	—
217	C₄	#421	1	4	yes	complemented
218	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
219	C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
220	C₂	—	2	1	no	—
221	C₂	—	2	2	no	—
222	C₂	—	2	1	no	—
223	C₂	—	2	2	no	—
224	C₂	—	8	4	no	—
225	C₂	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
226	C₂	C₂×#421	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#421	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×M₁₆	C₂	semidirect
4. #2285	C₂	semidirect
5. #1980	C₂	semidirect
12. #532	C₄	semidirect
14. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
15. C₂×#127	C₄	semidirect
16. C₂×#124	C₄	semidirect
22. C₂×#104	C₂²	semidirect
24. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
30. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
46. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
129. M₁₆	C₂×D₄	semidirect
217. C₄	#421	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#532	2
C₂×#421	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#2285	2
#1980	2