Subgroups — #212807

Order 512.

812 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1590	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#495	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#124	C₂²	1	2	yes	—
19	#1984	C₂²	1	2	yes	—
20	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1969	C₄	1	1	yes	characteristic
22	#1968	C₄	1	2	yes	—
23	#1958	C₄	1	2	yes	—
24	#1954	C₂²	1	2	yes	—
25	#1923	—	2	4	no	—
26	#1846	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#1831	C₂²	1	2	yes	—
28	#1753	—	2	4	no	—
29	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1591	—	2	4	no	—
33	#1590	—	2	8	no	—
34	#1589	—	2	4	no	—
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	#495	—	2	4	no	—
54	#446	—	2	4	no	—
55	#446	—	2	4	no	—
56	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
57	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
58	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
59	C₄×SD₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#388	—	2	4	no	—
93	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#336	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	4	no	—
98	#335	—	2	2	no	—
99	#335	—	2	2	no	—
100	#334	—	2	4	no	—
101	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
102	Q₈⋊C₈	—	2	4	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
105	C₈²	—	2	2	no	—
106	C₈²	—	2	2	no	—
107	C₈²	D₄	1	4	yes	—
108	C₈²	D₄	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	#124	—	2	4	no	—
135	#124	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#107	—	2	2	no	—
157	#107	—	2	2	no	—
158	#106	—	2	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
162	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
164	#103	—	2	4	no	—
165	#103	—	2	4	no	—
166	#102	—	2	4	no	—
167	#102	—	2	4	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
170	#97	—	4	4	no	—
171	C₄×C₈	—	2	8	no	—
172	C₄×C₈	—	2	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	1	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
190	#95	—	2	4	no	—
191	#95	—	2	4	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	Q₁₆	—	4	4	no	—
218	SD₁₆	—	4	8	no	—
219	D₈	—	4	4	no	—
220	M₁₆	—	8	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	2	no	—
265	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
266	C₄²	#131	1	2	yes	—
267	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	4	2	no	—
279	Q₈	—	4	2	no	—
280	Q₈	—	4	2	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	8	2	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
314	C₈	—	2	4	no	—
315	C₈	—	2	4	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	4	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	8	2	no	—
321	C₈	—	8	2	no	—
322	C₈	#436	1	4	yes	—
323	C₈	#436	1	4	yes	—
324	C₈	#495	1	4	yes	complemented
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	8	2	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#2931	1	1	yes	characteristic
346	C₄	C₂×#495	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3168	1	2	yes	—
349	C₂	—	16	2	no	—
350	C₂	#17886	1	2	yes	—
351	C₂	#17959	1	2	yes	—
352	C₂	#21681	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₄×#495	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#21705	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×D₈	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21631	C₂	semidirect
3. C₂×#1591	C₂	semidirect
4. C₂×#1590	C₂	semidirect
7. #9656	C₂	semidirect
8. #9655	C₂	semidirect
9. #9639	C₂	semidirect
10. #8807	C₂	semidirect
11. C₄×C₈²	C₂	semidirect
181. C₄×C₈	M₁₆	semidirect
324. C₈	#495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#495	2
#21631	2
C₂×#1591	2
C₂×#1590	2
C₂×#1589	2
#9657	2
#9656	2
#9655	2
#9639	2
#8807	2
C₄×C₈²	2