Subgroups — #212810

Order 512.

852 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21712	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21681	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1592	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9660	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#9638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9637	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#492	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#446	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#436	—	2	2	no	—
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1984	C₂²	1	2	yes	—
18	#1968	C₄	1	4	yes	—
19	#1957	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#1956	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1954	—	2	2	no	—
22	#1954	C₂²	1	2	yes	—
23	#1939	—	2	2	no	—
24	#1844	C₄	1	1	yes	characteristic
25	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1842	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1770	—	2	2	no	—
28	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1592	—	2	16	no	—
32	C₂×#335	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
44	#492	—	2	4	no	—
45	#446	—	2	8	no	—
46	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
47	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
48	#436	—	2	8	no	—
49	#436	—	4	8	no	—
50	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
60	C₂×#97	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#390	—	2	2	no	—
73	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#389	—	2	2	no	—
75	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#336	—	2	4	no	—
80	#335	—	2	8	no	—
81	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
82	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
83	#322	—	2	4	no	—
84	#322	D₄	1	8	yes	complemented
85	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
90	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
91	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
104	#127	—	2	2	no	—
105	#127	—	2	2	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	4	4	no	—
111	C₄×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#106	—	2	8	no	—
127	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
128	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
130	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
131	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
132	#103	—	2	8	no	—
133	#102	—	2	8	no	—
134	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
135	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
136	#97	—	4	4	no	—
137	C₄×C₈	—	2	4	no	—
138	C₄×C₈	—	2	2	no	—
139	C₄×C₈	—	2	4	no	—
140	C₄×C₈	—	2	4	no	—
141	C₄×C₈	—	2	2	no	—
142	C₄×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄×C₈	—	4	4	no	—
144	C₄×C₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
145	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₄×C₈	#41	1	4	yes	—
149	#95	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	2	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	2	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
174	SD₁₆	—	4	16	no	—
175	M₁₆	—	8	8	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	4	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	4	4	no	—
185	C₂×C₈	—	4	2	no	—
186	C₂×C₈	—	4	2	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₂×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
192	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
193	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
194	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	2	4	no	—
205	C₄²	—	4	2	no	—
206	C₄²	—	4	2	no	—
207	C₄²	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
208	C₄²	#131	1	2	yes	—
209	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
210	C₄²	#137	1	4	yes	—
211	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
212	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	2	no	—
216	C₂³	—	4	4	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
219	Q₈	—	4	4	no	—
220	Q₈	—	4	4	no	—
221	D₄	—	4	4	no	—
222	D₄	—	4	4	no	—
223	D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂×C₄	—	8	2	no	—
235	C₂×C₄	—	8	2	no	—
236	C₂×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂×C₄	#436	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	#440	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	#440	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	#444	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
250	C₈	—	2	2	no	—
251	C₈	—	2	2	no	—
252	C₈	—	2	4	no	—
253	C₈	—	4	4	no	—
254	C₈	—	4	2	no	—
255	C₈	—	8	2	no	—
256	C₈	—	8	2	no	—
257	C₈	#436	1	8	yes	complemented
258	C₂²	—	8	4	no	—
259	C₂²	—	8	2	no	—
260	C₂²	—	8	2	no	—
261	C₂²	—	8	2	no	—
262	C₂²	—	8	4	no	—
263	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
264	C₂²	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	#2931	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	C₂×#440	1	2	yes	—
267	C₂²	C₂×#444	1	2	yes	—
268	C₄	—	2	4	no	—
269	C₄	—	2	2	no	—
270	C₄	—	8	2	no	—
271	C₄	—	8	2	no	—
272	C₄	—	8	2	no	—
273	C₄	#1592	1	8	yes	complemented
274	C₄	C₂×#436	1	2	yes	—
275	C₄	#2931	1	2	yes	—
276	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
277	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
278	C₄	#3182	1	2	yes	—
279	C₂	—	16	2	no	—
280	C₂	C₂×#1592	1	2	yes	—
281	C₂	#17960	1	2	yes	—
282	C₂	#21681	1	1	yes	characteristic
283	C₂	#21692	1	1	yes	characteristic
284	C₂	#21706	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#127	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21712	C₂	semidirect
4. C₂×#1592	C₂	semidirect
5. #9660	C₂	semidirect
7. #9637	C₂	semidirect
8. #8806	C₂	semidirect
9. C₄×#322	C₂	semidirect
84. #322	D₄	semidirect
144. C₄×C₈	M₁₆	semidirect
257. C₈	#436	semidirect
273. C₄	#1592	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21712	2
C₄×#492	2
#21681	2
C₂×#1592	2
#9660	2
#9638	2
#9637	2
#8806	2
C₄×#322	2