Subgroups — #212893

Order 512.

898 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22268	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#22220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#9836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9829	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#7844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#442	—	2	2	no	—
17	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	#1990	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1972	—	2	2	no	—
22	#1957	C₂²	1	2	yes	—
23	#1957	C₂²	1	2	yes	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1956	C₂²	1	2	yes	—
26	#1943	—	2	2	no	—
27	#1925	—	2	4	no	—
28	#1880	—	2	4	no	—
29	#1877	—	2	4	no	—
30	#1862	—	2	4	no	—
31	#1845	C₂²	1	2	yes	—
32	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1834	C₂²	1	2	yes	—
35	#1776	—	2	2	no	—
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1706	C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#492	—	2	4	no	—
57	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#486	—	2	4	no	—
59	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#442	—	4	8	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	4	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×#103	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	4	no	—
67	C₂×#102	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#391	—	2	2	no	—
79	#390	—	2	2	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	—	2	2	no	—
82	#389	—	2	2	no	—
83	#389	—	2	2	no	—
84	#384	C₂³	1	2	yes	—
85	#384	C₂³	1	2	yes	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#340	—	2	4	no	—
90	#340	—	2	4	no	—
91	#340	—	2	4	no	—
92	#336	D₄	1	4	yes	—
93	#336	D₄	1	4	yes	—
94	#322	—	2	2	no	—
95	#322	—	2	2	no	—
96	#322	—	2	2	no	—
97	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	8	4	no	—
106	C₂×D₈	—	2	8	no	—
107	C₂×D₈	—	4	4	no	—
108	C₂×D₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	#127	—	2	2	no	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₄×Q₈	—	8	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	8	no	—
125	C₄×D₄	—	8	4	no	—
126	C₄×D₄	—	8	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	#107	—	2	8	no	—
146	#107	—	8	4	no	—
147	#106	—	4	4	no	—
148	#106	—	4	4	no	—
149	#103	—	8	4	no	—
150	#102	—	2	16	no	—
151	#102	—	4	8	no	—
152	#102	—	8	4	no	—
153	#102	—	8	4	no	—
154	#97	—	2	4	no	—
155	#97	—	2	4	no	—
156	C₄×C₈	—	2	1	no	—
157	C₄×C₈	—	2	1	no	—
158	C₄×C₈	—	2	1	no	—
159	C₄×C₈	—	2	1	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	#95	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
193	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	SD₁₆	—	8	16	no	—
199	D₈	—	4	16	no	—
200	C₂×C₈	—	2	4	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
228	C₄²	—	2	2	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	8	4	no	—
233	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂³	—	4	4	no	—
238	C₂³	—	8	2	no	—
239	C₂³	—	8	2	no	—
240	C₂³	—	8	2	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	2	no	—
244	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
245	Q₈	—	4	8	no	—
246	Q₈	—	8	4	no	—
247	D₄	—	4	8	no	—
248	D₄	—	4	8	no	—
249	D₄	—	4	8	no	—
250	D₄	—	8	4	no	—
251	D₄	—	8	4	no	—
252	D₄	—	8	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	8	2	no	—
261	C₂×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂×C₄	—	8	2	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	16	8	no	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
279	C₈	—	2	4	no	—
280	C₈	—	2	4	no	—
281	C₈	—	4	2	no	—
282	C₈	—	4	2	no	—
283	C₈	—	4	2	no	—
284	C₈	#440	1	8	yes	—
285	C₂²	—	8	4	no	—
286	C₂²	—	8	4	no	—
287	C₂²	—	8	4	no	—
288	C₂²	—	16	2	no	—
289	C₂²	—	16	2	no	—
290	C₂²	—	16	2	no	—
291	C₂²	—	16	2	no	—
292	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#3154	1	2	yes	—
296	C₂²	#3155	1	2	yes	—
297	C₄	—	4	2	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	8	4	no	—
300	C₄	—	16	2	no	—
301	C₄	—	16	2	no	—
302	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
303	C₄	#2948	1	2	yes	—
304	C₄	#2952	1	2	yes	—
305	C₄	#3173	1	2	yes	—
306	C₄	#3176	1	2	yes	—
307	C₄	#3182	1	2	yes	—
308	C₂	—	16	4	no	—
309	C₂	#19719	1	2	yes	—
310	C₂	#19726	1	2	yes	—
311	C₂	#21692	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#21694	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#21697	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22268	C₂	semidirect
2. #22220	C₂	semidirect
3. #21726	C₂	semidirect
7. #9836	C₂	semidirect
8. #9830	C₂	semidirect
9. #9829	C₂	semidirect
10. #8814	C₂	semidirect
11. #7844	C₂	semidirect
39. #1706	C₄	semidirect
53. #500	C₂×C₄	semidirect
57. #492	C₂×C₄	semidirect
59. #486	C₂×C₄	semidirect
97. C₈²	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22268	2
#22220	2
#21726	2
#21690	2
C₂×#1706	2
#9837	2
#9836	2
#9830	2
#9829	2
#8814	2
#7844	2