Subgroups — #212920

Order 512.

986 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21690	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9838	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#7846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#442	—	2	2	no	—
17	C₂×#440	—	2	4	no	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1990	C₂²	1	2	yes	—
22	#1973	—	2	4	no	—
23	#1972	—	2	2	no	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1956	C₂²	1	2	yes	—
28	#1943	—	2	2	no	—
29	#1936	—	2	4	no	—
30	#1845	C₂²	1	2	yes	—
31	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1834	C₂²	1	2	yes	—
34	#1776	—	2	2	no	—
35	#1762	—	2	4	no	—
36	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1706	C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#492	—	2	4	no	—
57	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#486	—	2	4	no	—
59	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#442	—	4	8	no	—
61	#440	—	4	16	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	C₂×#103	—	2	4	no	—
67	C₂×#102	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#391	—	2	2	no	—
82	#390	—	2	2	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#384	C₂³	1	2	yes	—
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#322	—	2	2	no	—
96	#322	—	2	2	no	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
105	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
107	C₂×D₈	—	2	8	no	—
108	C₂×D₈	—	4	4	no	—
109	C₂×D₈	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	#127	—	2	2	no	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
125	C₄×D₄	—	4	8	no	—
126	C₄×D₄	—	4	8	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
146	#107	—	2	8	no	—
147	#107	—	4	8	no	—
148	#106	—	4	4	no	—
149	#106	—	4	4	no	—
150	#103	—	4	8	no	—
151	#102	—	2	16	no	—
152	#102	—	4	8	no	—
153	#102	—	4	8	no	—
154	#102	—	4	8	no	—
155	#97	—	2	8	no	—
156	#97	—	2	4	no	—
157	#97	—	2	4	no	—
158	#97	—	4	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	1	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
169	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
170	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
171	#95	—	4	2	no	—
172	#95	—	4	2	no	—
173	C₂⁴	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
175	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
196	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	SD₁₆	—	4	32	no	—
202	D₈	—	4	16	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	4	no	—
211	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
216	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	8	4	no	—
236	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	—	8	2	no	—
242	C₂³	—	8	2	no	—
243	C₂³	—	8	2	no	—
244	C₂³	—	8	2	no	—
245	C₂³	—	8	2	no	—
246	C₂³	—	8	2	no	—
247	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
248	Q₈	—	4	8	no	—
249	Q₈	—	8	4	no	—
250	D₄	—	4	8	no	—
251	D₄	—	4	8	no	—
252	D₄	—	4	8	no	—
253	D₄	—	8	4	no	—
254	D₄	—	8	4	no	—
255	D₄	—	8	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂×C₄	—	8	2	no	—
266	C₂×C₄	—	8	2	no	—
267	C₂×C₄	—	8	2	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	2	no	—
271	C₂×C₄	—	16	8	no	—
272	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	#575	1	4	yes	—
282	C₈	—	2	4	no	—
283	C₈	—	4	2	no	—
284	C₈	—	4	2	no	—
285	C₈	—	4	2	no	—
286	C₈	#440	1	8	yes	complemented
287	C₈	#442	1	8	yes	complemented
288	C₂²	—	8	4	no	—
289	C₂²	—	8	4	no	—
290	C₂²	—	8	4	no	—
291	C₂²	—	16	2	no	—
292	C₂²	—	16	2	no	—
293	C₂²	—	16	2	no	—
294	C₂²	—	16	2	no	—
295	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	#3151	1	2	yes	—
298	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	#3153	1	2	yes	—
300	C₄	—	4	2	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	8	4	no	—
303	C₄	—	16	2	no	—
304	C₄	—	16	2	no	—
305	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
306	C₄	C₂×#442	1	2	yes	—
307	C₄	#2943	1	2	yes	—
308	C₄	#3182	1	2	yes	—
309	C₄	#3183	1	2	yes	—
310	C₄	#3184	1	2	yes	—
311	C₂	—	16	4	no	—
312	C₂	#19747	1	2	yes	—
313	C₂	#19748	1	2	yes	—
314	C₂	#21690	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#21692	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#21693	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21726	C₂	semidirect
2. #21692	C₂	semidirect
4. #21646	C₂	semidirect
6. #9842	C₂	semidirect
7. #9838	C₂	semidirect
9. #9836	C₂	semidirect
10. #8814	C₂	semidirect
11. #7846	C₂	semidirect
39. #1706	C₄	semidirect
53. #500	C₂×C₄	semidirect
57. #492	C₂×C₄	semidirect
59. #486	C₂×C₄	semidirect
98. C₈²	C₂×C₄	semidirect
286. C₈	#440	semidirect
287. C₈	#442	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21726	2
#21692	2
#21690	2
#21646	2
C₂×#1706	2
#9842	2
#9838	2
#9837	2
#9836	2
#8814	2
#7846	2