Subgroups — #212945

Order 512.

956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9663	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9644	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#435	—	2	4	no	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1970	C₄	1	2	yes	—
22	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1957	C₄	1	2	yes	—
24	#1955	—	2	4	no	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1954	C₂²	1	2	yes	—
27	#1845	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	2	yes	—
29	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1589	—	2	4	no	—
33	#1581	—	2	8	no	—
34	C₈×D₈	—	2	4	no	—
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	#493	—	2	4	no	—
56	C₄×D₈	—	2	2	no	—
57	C₄×D₈	—	2	4	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	C₄×D₈	—	2	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	4	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#435	—	4	16	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#390	—	2	4	no	—
94	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#336	—	2	2	no	—
99	#335	—	2	2	no	—
100	#335	—	2	4	no	—
101	#335	—	2	2	no	—
102	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
105	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
106	#322	—	2	2	no	—
107	#322	D₄	1	4	yes	complemented
108	C₈²	—	2	2	no	—
109	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	4	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	4	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	2	no	—
123	C₂×D₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	#127	—	2	4	no	—
140	#127	—	4	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	4	8	no	—
150	C₄×D₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
163	#107	—	2	4	no	—
164	#107	—	2	2	no	—
165	#107	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
171	#102	—	2	4	no	—
172	#102	—	2	4	no	—
173	#102	—	2	4	no	—
174	#102	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
179	#97	—	2	4	no	—
180	#97	D₈	1	8	yes	complemented
181	C₄×C₈	—	2	2	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	C₄×C₈	—	2	1	no	—
186	C₄×C₈	—	2	1	no	—
187	C₄×C₈	—	4	1	no	—
188	C₄×C₈	—	4	1	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
197	C₂⁴	—	2	2	no	—
198	C₂⁴	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	D₈	—	2	8	no	—
230	D₈	—	4	8	no	—
231	D₈	—	4	4	no	—
232	M₁₆	—	8	8	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	8	8	no	—
251	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₄²	—	4	2	no	—
277	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
278	C₄²	#135	1	4	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₄×D₈	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	2	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₈	—	8	2	no	—
341	C₈	#435	1	4	yes	complemented
342	C₈	#493	1	4	yes	complemented
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	2	no	—
353	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
357	C₂²	#2957	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	1	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	8	2	no	—
363	C₄	—	8	2	no	—
364	C₄	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
366	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
368	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#3169	1	2	yes	—
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	—	16	2	no	—
373	C₂	M₁₆×D₈	1	2	yes	—
374	C₂	#18066	1	2	yes	—
375	C₂	#21682	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₄×#493	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#21707	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#493	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21682	C₂	semidirect
3. C₂×#1589	C₂	semidirect
4. C₂×#1581	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
6. #9663	C₂	semidirect
7. #9657	C₂	semidirect
8. #9657	C₂	semidirect
9. #9644	C₂	semidirect
10. #8806	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
107. #322	D₄	semidirect
109. C₈²	D₄	semidirect
123. C₂×D₈	M₁₆	semidirect
180. #97	D₈	semidirect
341. C₈	#435	semidirect
342. C₈	#493	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#493	2
#21682	2
C₂×#1589	2
C₂×#1581	2
C₂×C₈×D₈	2
#9663	2
#9657	2
#9644	2
#8806	2
C₈×#97	2