Subgroups — #212949

Order 512.

944 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9665	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9644	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8805	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#7842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#435	—	2	4	no	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
21	#1970	C₄	1	2	yes	—
22	#1970	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#1957	C₄	1	2	yes	—
24	#1955	—	2	4	no	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1954	C₂²	1	2	yes	—
27	#1845	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1842	C₂²	1	2	yes	—
29	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1594	—	2	4	no	—
33	#1586	—	2	8	no	—
34	#1580	—	2	4	no	—
35	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	#493	—	2	4	no	—
56	C₄×D₈	—	2	2	no	—
57	C₄×D₈	—	2	4	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	C₄×D₈	—	2	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	4	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#436	—	2	4	no	—
64	#435	—	4	16	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#390	—	2	4	no	—
93	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#336	—	2	2	no	—
98	#334	—	2	2	no	—
99	#334	—	2	4	no	—
100	#334	—	2	2	no	—
101	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
102	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
103	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
104	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
105	#322	—	2	2	no	—
106	#322	—	2	2	no	—
107	#322	D₄	1	4	yes	complemented
108	#322	D₄	1	4	yes	complemented
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	4	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	4	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	4	2	no	—
122	C₂×D₈	M₁₆	1	4	yes	complemented
123	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	#127	—	2	4	no	—
138	#127	—	4	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	4	8	no	—
148	C₄×D₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	#107	—	2	4	no	—
162	#107	—	2	2	no	—
163	#107	—	2	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
168	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
169	#102	—	2	4	no	—
170	#102	—	2	4	no	—
171	#102	—	2	4	no	—
172	#102	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
177	#97	—	2	8	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	4	1	no	—
185	C₄×C₈	—	4	1	no	—
186	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
187	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
193	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	8	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	D₈	—	2	8	no	—
227	D₈	—	4	8	no	—
228	D₈	—	4	4	no	—
229	M₁₆	—	8	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	8	8	no	—
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
272	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	4	2	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	4	2	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	8	16	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	#442	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#442	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
324	C₈	—	2	4	no	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	4	2	no	—
330	C₈	—	4	2	no	—
331	C₈	—	8	2	no	—
332	C₈	—	8	2	no	—
333	C₈	#435	1	4	yes	complemented
334	C₂²	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	2	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
348	C₂²	#2957	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	1	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2932	1	1	yes	characteristic
357	C₄	D₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3151	1	2	yes	—
360	C₄	#3184	1	2	yes	—
361	C₂	—	8	4	no	—
362	C₂	—	16	2	no	—
363	C₂	#18044	1	2	yes	—
364	C₂	#18073	1	2	yes	—
365	C₂	#21682	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#21690	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#21707	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#493	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21682	C₂	semidirect
3. C₂×#1594	C₂	semidirect
4. C₂×#1586	C₂	semidirect
5. C₂×#1580	C₂	semidirect
6. #9665	C₂	semidirect
7. #9659	C₂	semidirect
8. #9659	C₂	semidirect
9. #9644	C₂	semidirect
10. #8805	C₂	semidirect
11. #7842	C₂	semidirect
107. #322	D₄	semidirect
108. #322	D₄	semidirect
122. C₂×D₈	M₁₆	semidirect
333. C₈	#435	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#493	2
#21682	2
C₂×#1594	2
C₂×#1586	2
C₂×#1580	2
#9665	2
#9659	2
#9644	2
#8805	2
#7842	2