Subgroups — #213005

Order 512.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22264	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1586	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#9659	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9648	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#9648	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#7844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2093	C₄	1	2	yes	—
19	#2093	C₄	1	2	yes	—
20	#2011	C₄	1	2	yes	—
21	#2011	C₄	1	2	yes	—
22	#1954	C₂²	1	2	yes	—
23	#1954	C₂²	1	2	yes	—
24	#1870	—	2	4	no	—
25	#1869	—	2	4	no	—
26	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1831	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1586	—	2	8	no	—
32	#1581	—	2	8	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#334	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₄×D₈	—	2	4	no	—
54	C₄×D₈	—	2	4	no	—
55	C₄×D₈	—	2	4	no	—
56	C₄×D₈	—	2	4	no	—
57	#436	—	2	4	no	—
58	#436	—	2	4	no	—
59	C₈×D₄	—	2	4	no	—
60	C₈×D₄	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#390	—	2	2	no	—
81	#390	—	2	2	no	—
82	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	D₄	1	4	yes	—
92	#335	—	2	4	no	—
93	#334	—	2	4	no	—
94	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
96	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
97	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
98	#322	—	2	2	no	—
99	#322	D₄	1	4	yes	complemented
100	#322	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₈²	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	4	no	—
109	C₂×D₈	—	2	4	no	—
110	C₂×D₈	—	2	4	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	4	2	no	—
113	C₂×D₈	—	4	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	#127	—	2	4	no	—
127	#127	—	4	2	no	—
128	C₄×D₄	—	2	2	no	—
129	C₄×D₄	—	2	2	no	—
130	C₄×D₄	—	2	2	no	—
131	C₄×D₄	—	2	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	8	4	no	—
137	C₄×D₄	—	8	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#107	—	2	4	no	—
152	#107	—	2	4	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
155	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
157	#102	—	2	4	no	—
158	#102	—	2	4	no	—
159	#102	—	2	4	no	—
160	#102	—	2	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
165	#97	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
177	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
178	C₂⁴	—	2	2	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂×D₄	—	8	2	no	—
196	C₂×D₄	—	8	2	no	—
197	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	D₈	—	4	8	no	—
214	D₈	—	4	8	no	—
215	M₁₆	—	8	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	8	8	no	—
232	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	4	2	no	—
251	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	4	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	D₄	—	2	4	no	—
267	D₄	—	2	4	no	—
268	D₄	—	4	2	no	—
269	D₄	—	4	2	no	—
270	D₄	—	4	2	no	—
271	D₄	—	4	2	no	—
272	D₄	—	4	2	no	—
273	D₄	—	4	2	no	—
274	D₄	—	8	8	no	—
275	D₄	—	8	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
302	C₈	—	2	4	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	4	2	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	8	2	no	—
309	C₈	—	8	2	no	—
310	C₂²	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	2	no	—
314	C₂²	—	8	2	no	—
315	C₂²	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	8	2	no	—
318	C₂²	—	8	2	no	—
319	C₂²	—	8	2	no	—
320	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#2929	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2930	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2948	1	2	yes	—
324	C₂²	#2956	1	2	yes	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	4	2	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	8	2	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	#2933	1	2	yes	—
332	C₄	#2933	1	2	yes	—
333	C₄	#3155	1	2	yes	—
334	C₄	#3176	1	2	yes	—
335	C₂	—	8	4	no	—
336	C₂	—	16	2	no	—
337	C₂	#17922	1	2	yes	—
338	C₂	#17950	1	2	yes	—
339	C₂	#21685	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#21697	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#21710	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	#23798	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1744 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #22264	C₂	semidirect
3. #22260	C₂	semidirect
4. C₂×#1586	C₂	semidirect
5. C₂×#1581	C₂	semidirect
6. #9659	C₂	semidirect
7. #9657	C₂	semidirect
8. #9648	C₂	semidirect
9. #9648	C₂	semidirect
10. #8811	C₂	semidirect
11. #7844	C₂	semidirect
99. #322	D₄	semidirect
100. #322	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23798	2
#22264	2
#22260	2
C₂×#1586	2
C₂×#1581	2
#9659	2
#9657	2
#9648	2
#8811	2
#7844	2