Subgroups — #213009

Order 512.

946 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₈×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#9663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#9657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#9638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#8810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#436	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#435	—	2	4	no	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	#2093	C₄	1	2	yes	—
20	#2093	C₄	1	2	yes	—
21	#2011	C₄	1	2	yes	—
22	#2011	C₄	1	2	yes	—
23	#1955	—	2	4	no	—
24	#1954	C₂²	1	2	yes	—
25	#1954	C₂²	1	2	yes	—
26	#1842	C₂²	1	2	yes	—
27	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1589	—	2	4	no	—
31	#1581	—	2	8	no	—
32	C₈×D₈	—	2	4	no	—
33	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#335	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#335	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₄×D₈	—	2	2	no	—
54	C₄×D₈	—	2	4	no	—
55	C₄×D₈	—	2	2	no	—
56	C₄×D₈	—	2	4	no	—
57	C₄×D₈	—	2	2	no	—
58	C₄×D₈	—	2	2	no	—
59	#436	—	2	4	no	—
60	#436	—	2	4	no	—
61	#435	—	4	16	no	—
62	C₈×D₄	—	2	4	no	—
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#390	—	2	4	no	—
88	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#335	—	2	2	no	—
95	#335	—	2	4	no	—
96	#335	—	2	2	no	—
97	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
98	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
99	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
100	D₄⋊C₈	—	2	4	no	—
101	#322	—	2	2	no	—
102	#322	D₄	1	4	yes	complemented
103	C₈²	—	2	2	no	—
104	C₈²	D₄	1	4	yes	complemented
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	4	no	—
111	C₂×D₈	—	2	4	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	4	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	4	2	no	—
116	C₂×D₈	—	4	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	#127	—	2	4	no	—
132	#127	—	4	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	C₄×D₄	—	2	2	no	—
137	C₄×D₄	—	2	2	no	—
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	#107	—	2	2	no	—
155	#107	—	2	4	no	—
156	#107	—	2	2	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
158	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
162	#102	—	2	4	no	—
163	#102	—	2	4	no	—
164	#102	—	2	4	no	—
165	#102	—	2	4	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
168	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
170	#97	—	2	4	no	—
171	#97	D₈	1	8	yes	complemented
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	2	1	no	—
174	C₄×C₈	—	2	1	no	—
175	C₄×C₈	—	2	1	no	—
176	C₄×C₈	—	4	4	no	—
177	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
184	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×D₄	#131	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	D₈	—	2	8	no	—
217	D₈	—	4	8	no	—
218	D₈	—	4	4	no	—
219	M₁₆	—	8	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	8	8	no	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	4	2	no	—
257	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
258	C₄²	#135	1	4	yes	—
259	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
274	D₄	—	2	4	no	—
275	D₄	—	2	4	no	—
276	D₄	—	4	2	no	—
277	D₄	—	4	2	no	—
278	D₄	—	4	2	no	—
279	D₄	—	4	2	no	—
280	D₄	—	4	2	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	8	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	2	no	—
292	C₂×C₄	—	8	2	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	C₄×D₈	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
307	C₈	—	2	4	no	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	4	no	—
313	C₈	—	4	2	no	—
314	C₈	—	8	2	no	—
315	C₈	—	8	2	no	—
316	C₈	#493	1	4	yes	—
317	C₂²	—	4	8	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	2	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	4	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	2	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2933	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
330	C₂²	#2956	1	2	yes	—
331	C₄	—	2	8	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	8	2	no	—
335	C₄	—	8	2	no	—
336	C₄	#2929	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2930	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#2933	1	2	yes	—
339	C₄	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#3147	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#3169	1	2	yes	—
342	C₂	—	8	4	no	—
343	C₂	—	16	2	no	—
344	C₂	#17994	1	4	yes	—
345	C₂	#21685	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₄×#493	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#21710	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	#23798	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21682	C₂	semidirect
3. C₂×#1589	C₂	semidirect
4. C₂×#1581	C₂	semidirect
5. C₂×C₈×D₈	C₂	semidirect
6. #9663	C₂	semidirect
7. #9663	C₂	semidirect
8. #9657	C₂	semidirect
9. #9638	C₂	semidirect
10. #8810	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
102. #322	D₄	semidirect
104. C₈²	D₄	semidirect
171. #97	D₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23798	2
#21682	2
C₂×#1589	2
C₂×#1581	2
C₂×C₈×D₈	2
#9663	2
#9657	2
#9638	2
#8810	2
C₈×#97	2