Subgroups — #21303

Order 256.

693 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 175 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1985	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1984	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1728	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂³×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
11	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#423	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
24	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	#336	C₂²	1	16	yes	—
27	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
28	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
29	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
40	C₂×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
41	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
44	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
45	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
67	#97	—	2	4	no	—
68	C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
71	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
73	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
74	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
75	C₂×Q₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
76	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
81	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
94	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	M₁₆	—	2	16	no	—
97	M₁₆	—	4	8	no	—
98	C₂×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂×C₈	—	2	8	no	—
102	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
103	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄²	—	2	8	no	—
108	C₄²	—	2	4	no	—
109	C₄²	—	2	4	no	—
110	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³	—	2	2	no	—
117	C₂³	—	2	2	no	—
118	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
121	Q₈	—	2	16	no	—
122	Q₈	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
141	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
142	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
144	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
145	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
149	C₈	—	2	8	no	—
150	C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²	—	2	2	no	—
152	C₂²	—	2	2	no	—
153	C₂²	—	2	8	no	—
154	C₂²	#391	1	4	yes	—
155	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
157	C₂²	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
158	C₂²	#568	1	2	yes	—
159	C₄	—	2	2	no	—
160	C₄	—	2	8	no	—
161	C₄	—	2	2	no	—
162	C₄	—	2	2	no	—
163	C₄	—	4	4	no	—
164	C₄	#391	1	4	yes	—
165	C₄	#407	1	4	yes	—
166	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
167	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
168	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂	—	2	4	no	—
170	C₂	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
171	C₂	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
172	C₂	#2879	1	1	yes	characteristic
173	C₂	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1985	C₂	semidirect
5. #1984	C₂	semidirect
40. C₂×M₁₆	Q₈	semidirect
75. C₂×Q₈	M₁₆	semidirect
102. C₂×C₈	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Q₈	2
C₂×#423	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1985	2
#1984	2
#1728	2