Subgroups — #21304

Order 256.

581 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 195 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1985	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1984	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#533	—	2	4	no	—
15	#533	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#125	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#424	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
25	#405	—	2	4	no	—
26	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#336	C₂²	1	2	yes	—
29	#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	4	yes	—
31	#336	C₂²	1	2	yes	—
32	#336	C₂²	1	4	yes	—
33	#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
40	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×M₁₆	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
49	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
55	#125	—	2	8	no	—
56	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
59	#117	—	2	2	no	—
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	D₄	1	4	yes	—
62	#117	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
77	#97	—	2	4	no	—
78	C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	M₁₆	—	2	8	no	—
99	M₁₆	—	4	4	no	—
100	C₂×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
123	C₄²	—	2	2	no	—
124	C₄²	—	2	2	no	—
125	C₄²	—	2	2	no	—
126	C₄²	—	2	2	no	—
127	C₄²	—	2	2	no	—
128	C₄²	—	2	2	no	—
129	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂³	—	2	2	no	—
132	C₂³	—	2	2	no	—
133	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂³	C₄×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	Q₈	—	4	16	no	—
138	C₂×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
154	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	#124	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
157	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
158	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
164	C₈	—	2	2	no	—
165	C₈	—	2	2	no	—
166	C₈	—	2	4	no	—
167	C₈	—	4	2	no	—
168	C₈	—	4	2	no	—
169	C₂²	—	2	4	no	—
170	C₂²	—	2	2	no	—
171	C₂²	—	2	2	no	—
172	C₂²	—	2	4	no	—
173	C₂²	#391	1	4	yes	—
174	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
178	C₂²	#568	1	2	yes	—
179	C₄	—	2	4	no	—
180	C₄	—	2	8	no	—
181	C₄	—	4	2	no	—
182	C₄	—	4	4	no	—
183	C₄	#391	1	4	yes	—
184	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
185	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
187	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂	—	2	4	no	—
189	C₂	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
190	C₂	#2880	1	2	yes	—
191	C₂	#2960	1	1	yes	characteristic
192	C₂	#2961	1	1	yes	characteristic
193	C₂	#2962	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1985	C₂	semidirect
5. #1984	C₂	semidirect
42. C₂×M₁₆	Q₈	semidirect
48. C₂²×C₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×#424	2
C₂×#405	2
#1985	2
#1984	2
#1729	2
#1728	2
C₂×#336	2