Subgroups — #213067

Order 512.

992 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#22220	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₄×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21692	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#9830	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#9824	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#9823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#8818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₈×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#486	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#440	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
18	C₄×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#127	C₂²	1	2	yes	—
20	#1990	C₂²	1	2	yes	—
21	#1990	C₂²	1	2	yes	—
22	#1973	—	2	4	no	—
23	#1970	—	2	2	no	—
24	#1957	C₂²	1	2	yes	—
25	#1957	C₂²	1	2	yes	—
26	#1957	C₂²	1	2	yes	—
27	#1956	C₂²	1	2	yes	—
28	#1942	—	2	2	no	—
29	#1925	—	2	4	no	—
30	#1862	—	2	4	no	—
31	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1845	C₂²	1	2	yes	—
34	#1845	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#107	—	2	2	no	—
36	#1744	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄²×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1706	C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	#500	—	2	2	no	—
53	#500	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
54	#493	—	2	2	no	—
55	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#492	—	2	4	no	—
57	#492	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#486	—	2	4	no	—
59	#486	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#440	—	4	16	no	—
61	C₄×D₈	—	4	8	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	2	no	—
66	C₂×#107	—	2	4	no	—
67	C₂×#103	—	2	4	no	—
68	C₂×#102	—	2	4	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#391	—	2	2	no	—
83	#390	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	2	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#384	C₂³	1	2	yes	—
89	#384	C₂³	1	2	yes	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#340	—	2	4	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#336	D₄	1	2	yes	—
96	#336	D₄	1	2	yes	—
97	#322	—	2	2	no	—
98	#322	—	2	2	no	—
99	C₈²	—	2	2	no	—
100	C₈²	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
109	C₂×D₈	—	2	8	no	—
110	C₂×D₈	—	4	4	no	—
111	C₂×D₈	—	4	4	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	#127	—	2	2	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	#127	—	2	2	no	—
125	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	8	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	#107	—	2	8	no	—
151	#107	—	4	8	no	—
152	#107	—	4	4	no	—
153	#107	—	4	4	no	—
154	#107	—	8	4	no	—
155	#103	—	4	8	no	—
156	#102	—	2	16	no	—
157	#102	—	4	8	no	—
158	#102	—	4	8	no	—
159	#102	—	8	4	no	—
160	#97	—	2	4	no	—
161	#97	D₈	1	8	yes	complemented
162	C₄×C₈	—	2	4	no	—
163	C₄×C₈	—	2	4	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	C₄×C₈	—	2	1	no	—
166	C₄×C₈	—	2	1	no	—
167	C₄×C₈	—	2	1	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	1	no	—
170	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
175	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
176	#95	—	4	2	no	—
177	#95	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
201	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
208	SD₁₆	—	4	32	no	—
209	D₈	—	4	16	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	2	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	2	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	#135	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	2	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	8	4	no	—
248	C₄²	C₂×D₈	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	4	8	no	—
262	Q₈	—	8	4	no	—
263	D₄	—	4	8	no	—
264	D₄	—	4	8	no	—
265	D₄	—	4	8	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	D₄	—	8	4	no	—
268	D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	16	8	no	—
289	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	4	2	no	—
307	C₈	C₄×D₈	1	8	yes	complemented
308	C₈	#440	1	8	yes	complemented
309	C₂²	—	8	4	no	—
310	C₂²	—	8	4	no	—
311	C₂²	—	8	4	no	—
312	C₂²	—	16	2	no	—
313	C₂²	—	16	2	no	—
314	C₂²	—	16	2	no	—
315	C₂²	—	16	2	no	—
316	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	#3155	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#3156	1	1	yes	characteristic
323	C₄	—	2	2	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	4	1	no	—
326	C₄	—	4	1	no	—
327	C₄	—	8	4	no	—
328	C₄	—	16	2	no	—
329	C₄	—	16	2	no	—
330	C₄	C₂×C₄×D₈	1	2	yes	—
331	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
332	C₄	#2951	1	2	yes	—
333	C₄	#3169	1	2	yes	—
334	C₄	#3175	1	2	yes	—
335	C₄	#3182	1	2	yes	—
336	C₂	—	16	4	no	—
337	C₂	#19629	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#19630	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#19645	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#19646	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₄×#493	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#21692	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#21696	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	C₂×#493	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #22220	C₂	semidirect
2. C₄×#500	C₂	semidirect
3. #21692	C₂	semidirect
6. #9842	C₂	semidirect
7. #9830	C₂	semidirect
9. #9823	C₂	semidirect
10. #8818	C₂	semidirect
11. C₈×#97	C₂	semidirect
39. #1706	C₄	semidirect
53. #500	C₂×C₄	semidirect
57. #492	C₂×C₄	semidirect
59. #486	C₂×C₄	semidirect
100. C₈²	C₂×C₄	semidirect
161. #97	D₈	semidirect
307. C₈	C₄×D₈	semidirect
308. C₈	#440	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#22220	2
C₄×#500	2
#21692	2
C₄×#493	2
C₂×#1706	2
#9842	2
#9830	2
#9824	2
#9823	2
#8818	2
C₈×#97	2