Subgroups — #213276

Order 512.

720 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 235 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21734	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#21706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#19596	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17960	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#9861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#9851	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#8823	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#7846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3167	C₂²	1	4	yes	—
11	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2960	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#444	—	2	2	no	—
15	#2931	C₂²	1	2	yes	—
16	#1994	C₂²	1	2	yes	—
17	#1975	—	2	2	no	—
18	#1962	C₂²	1	2	yes	—
19	#1946	—	2	2	no	—
20	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1773	—	2	2	no	—
23	C₄×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1708	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1707	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1706	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1705	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1592	—	2	8	no	—
30	SD₁₆⋊C₈	—	2	8	no	—
31	#1567	C₂²	1	4	yes	—
32	#1493	C₂²	1	4	yes	—
33	#1492	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	#533	C₂³	1	2	yes	—
40	#532	C₂³	1	2	yes	—
41	#500	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#499	—	2	2	no	—
43	#498	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	#498	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	#495	—	2	2	no	—
46	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	#492	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	#492	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#487	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	#486	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	#465	—	2	8	no	—
53	#446	—	2	4	no	—
54	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
55	#444	—	4	8	no	—
56	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
57	#436	—	2	4	no	—
58	C₈×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	2	no	—
60	C₂×#108	—	2	2	no	—
61	#427	—	2	2	no	—
62	#424	—	2	2	no	—
63	#423	C₂³	1	2	yes	—
64	#423	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#104	—	2	4	no	—
66	#408	—	2	2	no	—
67	#405	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄³	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#339	—	2	4	no	—
77	#335	—	2	8	no	—
78	Q₈⋊C₈	—	2	8	no	—
79	D₄⋊C₈	—	2	8	no	—
80	#322	—	2	2	no	—
81	#322	D₄	1	8	yes	—
82	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₈²	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₈²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	#135	—	4	4	no	—
87	#135	—	4	4	no	—
88	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
91	C₂×D₈	—	2	2	no	—
92	#131	—	4	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
102	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	#127	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	#125	—	2	2	no	—
106	#124	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	#121	—	2	4	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#108	—	4	4	no	—
116	#108	—	4	4	no	—
117	#107	—	2	4	no	—
118	#106	—	2	4	no	—
119	#106	—	2	8	no	—
120	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
121	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
123	#104	—	4	8	no	—
124	#103	—	2	8	no	—
125	#102	—	2	8	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
127	#97	—	2	4	no	—
128	#97	—	2	4	no	—
129	#97	—	4	8	no	—
130	#97	—	4	2	no	—
131	C₄×C₈	—	2	2	no	—
132	C₄×C₈	—	4	2	no	—
133	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
141	#41	—	4	4	no	—
142	#41	—	4	4	no	—
143	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
152	Q₁₆	—	4	4	no	—
153	SD₁₆	—	4	8	no	—
154	SD₁₆	—	4	16	no	—
155	D₈	—	4	4	no	—
156	M₁₆	—	4	4	no	—
157	M₁₆	—	4	4	no	—
158	M₁₆	—	8	4	no	—
159	C₂×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂×C₈	—	4	4	no	—
164	C₂×C₈	—	4	2	no	—
165	C₂×C₈	—	4	2	no	—
166	C₂×C₈	—	8	4	no	—
167	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
172	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
173	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
174	C₂×C₈	#137	1	4	yes	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₄²	—	2	2	no	—
182	C₄²	—	2	2	no	—
183	C₄²	—	4	4	no	—
184	C₄²	—	4	2	no	—
185	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
187	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	C₂³	—	4	2	no	—
189	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
190	Q₈	—	4	4	no	—
191	Q₈	—	4	8	no	—
192	D₄	—	4	4	no	—
193	D₄	—	4	8	no	—
194	D₄	—	8	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₄	—	8	2	no	—
201	C₂×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
206	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
208	C₈	—	2	2	no	—
209	C₈	—	2	2	no	—
210	C₈	—	2	4	no	—
211	C₈	—	4	4	no	—
212	C₈	—	8	2	no	—
213	C₈	—	8	2	no	—
214	C₈	#440	1	4	yes	—
215	C₈	#440	1	4	yes	—
216	C₈	#444	1	8	yes	complemented
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	8	2	no	—
219	C₂²	—	8	4	no	—
220	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
221	C₂²	#3182	1	2	yes	—
222	C₄	—	2	2	no	—
223	C₄	—	8	2	no	—
224	C₄	—	8	2	no	—
225	C₄	—	8	4	no	—
226	C₄	C₂×#440	1	2	yes	—
227	C₄	C₂×#444	1	4	yes	—
228	C₄	#3151	1	1	yes	characteristic
229	C₄	#3152	1	1	yes	characteristic
230	C₂	—	2	2	no	—
231	C₂	—	16	2	no	—
232	C₂	#21692	1	1	yes	characteristic
233	C₂	#21706	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#127
commutator	C₄²	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
socle	C₂²	C₄×#127
prime radical	#3147	C₂²
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #21734	C₂	semidirect
4. #17960	C₂	semidirect
6. #9861	C₂	semidirect
7. #9851	C₂	semidirect
8. #8823	C₂	semidirect
9. #7846	C₂	semidirect
25. #1708	C₄	semidirect
26. #1707	C₄	semidirect
27. #1706	C₄	semidirect
28. #1705	C₄	semidirect
216. C₈	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21734	2
#21706	2
#19596	2
#17960	2
#9862	2
#9861	2
#9851	2
#8823	2
#7846	2