Subgroups — #21329

Order 256.

581 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 189 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1995	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1994	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1733	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	#533	—	2	2	no	—
9	#533	—	2	2	no	—
10	#533	C₄	1	2	yes	complemented
11	#533	C₄	1	2	yes	complemented
12	#533	C₂²	1	2	yes	—
13	#533	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#125	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
17	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
18	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#423	—	2	2	no	—
22	#423	C₂²	1	2	yes	—
23	#423	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
26	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
27	#376	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	#339	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
31	C₂³×C₄	D₄	1	2	yes	—
32	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
37	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	#125	—	2	4	no	—
42	#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	#125	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
50	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
52	#117	—	2	2	no	—
53	#117	—	2	2	no	—
54	#117	—	2	4	no	—
55	#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	#117	Q₈	1	8	yes	complemented
57	#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	#95	—	2	4	no	—
79	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
83	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
86	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	M₁₆	—	2	8	no	—
101	M₁₆	—	4	4	no	—
102	C₂×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₈	—	4	4	no	—
104	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₄²	—	2	4	no	—
115	C₄²	—	2	4	no	—
116	C₄²	—	2	4	no	—
117	C₄²	—	4	8	no	—
118	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
119	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
120	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
122	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
129	C₂³	—	4	2	no	—
130	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
133	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	Q₈	—	4	8	no	—
135	Q₈	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
153	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
156	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₈	—	4	4	no	—
164	C₂²	—	2	2	no	—
165	C₂²	—	2	2	no	—
166	C₂²	—	2	2	no	—
167	C₂²	—	4	4	no	—
168	C₂²	#391	1	2	yes	—
169	C₂²	#391	1	2	yes	—
170	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
172	C₄	—	2	2	no	—
173	C₄	—	2	2	no	—
174	C₄	—	2	2	no	—
175	C₄	—	4	8	no	—
176	C₄	—	4	8	no	—
177	C₄	#391	1	2	yes	—
178	C₄	#391	1	2	yes	—
179	C₄	#421	1	4	yes	—
180	C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
181	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
182	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂	—	2	2	no	—
184	C₂	—	2	2	no	—
185	C₂	—	2	2	no	—
186	C₂	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
187	C₂	C₂×#421	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1995	C₂	semidirect
5. #1994	C₂	semidirect
10. #533	C₄	semidirect
11. #533	C₄	semidirect
14. C₂×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
15. C₂×#125	C₄	semidirect
56. #117	Q₈	semidirect
128. C₄²	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×#423	2
C₄×#117	2
#1995	2
#1994	2
#1733	2