Subgroups — #21337

Order 256.

557 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 190 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#1998	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#1997	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#1742	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	#533	—	2	1	no	—
10	#533	—	2	1	no	—
11	#533	—	2	1	no	—
12	#533	—	2	1	no	—
13	#533	—	2	2	no	—
14	#533	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	4	yes	—
19	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#423	—	2	2	no	—
22	#423	C₂²	1	2	yes	—
23	#423	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
25	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
26	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
27	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#97	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
31	#343	C₂²	1	16	yes	—
32	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
40	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
44	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
45	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
46	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	#125	—	2	2	no	—
49	#125	—	2	2	no	—
50	#125	—	2	4	no	—
51	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
59	#117	—	2	2	no	—
60	#117	—	2	2	no	—
61	#117	—	2	2	no	—
62	#117	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	D₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
79	#97	—	2	2	no	—
80	#97	—	2	2	no	—
81	C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
87	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
88	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
102	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	M₁₆	—	2	8	no	—
104	M₁₆	—	2	4	no	—
105	M₁₆	—	2	8	no	—
106	M₁₆	—	4	4	no	—
107	M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂×C₈	—	4	4	no	—
112	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₄²	—	2	4	no	—
121	C₄²	—	2	4	no	—
122	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
125	C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³	—	4	2	no	—
133	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³	C₄×Q₈	1	4	yes	—
136	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	Q₈	—	4	8	no	—
138	Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
154	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
156	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
157	C₂×C₄	#124	1	2	yes	—
158	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₈	—	2	8	no	—
165	C₈	—	4	4	no	—
166	C₂²	—	2	2	no	—
167	C₂²	—	2	2	no	—
168	C₂²	—	2	2	no	—
169	C₂²	—	4	4	no	—
170	C₂²	#391	1	2	yes	—
171	C₂²	#391	1	2	yes	—
172	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
174	C₄	—	2	2	no	—
175	C₄	—	2	2	no	—
176	C₄	—	2	2	no	—
177	C₄	—	4	8	no	—
178	C₄	#391	1	2	yes	—
179	C₄	#391	1	2	yes	—
180	C₄	#413	1	4	yes	—
181	C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
182	C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
183	C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂	—	2	2	no	—
185	C₂	—	2	2	no	—
186	C₂	—	2	2	no	—
187	C₂	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
188	C₂	C₂×#413	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #1998	C₂	semidirect
5. #1997	C₂	semidirect
39. C₂×M₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#533	2
C₂×#423	2
C₂×C₄×M₁₆	2
#1998	2
#1997	2
#1742	2