Subgroups — #213525

Order 512.

1144 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#9082	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9081	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8702	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8308	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2638	—	2	4	no	—
13	#2638	—	2	4	no	—
14	C₂×#398	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#397	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#397	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#395	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#394	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#393	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#387	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#385	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1954	—	2	4	no	—
24	#1869	—	2	4	no	—
25	#1817	C₂²	1	2	yes	—
26	#1779	C₂²	1	2	yes	—
27	#1779	C₂²	1	2	yes	—
28	#1779	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#324	C₂²	1	8	yes	—
30	#1280	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#431	—	4	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
64	#398	—	2	4	no	—
65	#397	—	2	4	no	—
66	#397	—	2	8	no	—
67	#395	—	2	4	no	—
68	#394	—	2	8	no	—
69	#393	—	2	4	no	—
70	#387	—	2	4	no	—
71	#387	—	2	4	no	—
72	#385	—	2	4	no	—
73	#385	—	2	4	no	—
74	#381	—	2	2	no	—
75	#381	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₂×#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	#324	—	4	8	no	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
93	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
117	C₄×D₄	—	4	4	no	—
118	C₄×D₄	—	4	4	no	—
119	C₄×D₄	—	4	4	no	—
120	C₄×D₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
150	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
154	C₄×C₈	—	4	4	no	—
155	#95	—	2	2	no	—
156	#95	—	2	2	no	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	2	4	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	#95	—	2	2	no	—
162	#95	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	2	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂⁴	#131	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	8	no	—
229	C₂×C₈	—	4	4	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	8	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	#408	1	4	yes	—
269	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	#518	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
273	Q₈	—	8	8	no	—
274	D₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
314	C₈	—	8	4	no	—
315	C₈	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	—	8	8	no	—
332	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#2883	1	2	yes	—
336	C₂²	#2889	1	2	yes	—
337	C₂²	#2977	1	4	yes	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	8	2	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	8	2	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	8	2	no	—
351	C₂	#17387	1	2	yes	—
352	C₂	#17388	1	2	yes	—
353	C₂	#21739	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#21749	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#21756	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #9082	C₂	semidirect
5. #9081	C₂	semidirect
6. #8702	C₂	semidirect
7. #8308	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2638	2
#21786	2
#21738	2
#9082	2
#9081	2
#8702	2
#8308	2