Subgroups — #213697

Order 512.

1344 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35272	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#9142	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#9133	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#8728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#8339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#535	C₄	1	2	yes	—
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#432	C₂²	1	2	yes	complemented
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
12	#2856	C₂²	1	4	yes	—
13	#2619	C₄	1	4	yes	—
14	#2548	—	2	2	no	—
15	#2541	—	2	2	no	—
16	#2408	—	2	2	no	—
17	#2408	—	2	2	no	—
18	#2309	C₄	1	2	yes	—
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1985	—	2	2	no	—
21	#1955	—	2	2	no	—
22	#1869	—	2	2	no	—
23	#1869	—	2	2	no	—
24	#1797	C₂²	1	4	yes	—
25	#1797	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#331	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#331	C₂²	1	2	yes	—
29	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#1296	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#1296	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
34	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	#535	—	4	8	no	—
37	C₂×#127	—	2	2	no	—
38	C₂×#127	—	2	2	no	—
39	C₂×#127	—	4	1	no	—
40	C₂×#127	—	4	2	no	—
41	C₂×#127	—	4	1	no	—
42	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#124	—	2	2	no	—
45	C₂×#121	—	2	4	no	—
46	C₂×#121	—	2	4	no	—
47	C₂×#121	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#120	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	4	1	no	—
50	C₄×#41	—	4	2	no	—
51	C₄×#41	—	4	1	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
61	#432	—	4	2	no	—
62	#432	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	—	2	2	no	—
72	#394	—	2	4	no	—
73	#394	—	2	4	no	—
74	#392	—	2	4	no	—
75	#392	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#390	—	2	4	no	—
78	#390	—	2	4	no	—
79	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#384	C₂³	1	2	yes	—
81	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#380	—	2	2	no	—
83	#379	—	2	2	no	—
84	#379	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	#331	—	4	2	no	—
89	#331	—	4	4	no	—
90	#331	—	4	2	no	—
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	4	1	no	—
94	C₂×#41	—	4	1	no	—
95	C₂×#41	—	4	2	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
109	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
121	#127	—	2	2	no	—
122	#127	—	2	4	no	—
123	#127	—	2	2	no	—
124	#127	—	4	2	no	—
125	#127	—	4	2	no	—
126	#127	—	4	4	no	—
127	#127	—	4	4	no	—
128	#127	—	4	8	no	—
129	#124	—	4	8	no	—
130	#121	—	4	16	no	—
131	#121	—	8	4	no	—
132	#121	—	8	4	no	—
133	#121	—	8	4	no	—
134	#121	—	8	4	no	—
135	#120	—	4	16	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
138	C₄×D₄	—	4	2	no	—
139	C₄×D₄	—	4	2	no	—
140	C₄×D₄	—	4	2	no	—
141	C₄×D₄	—	4	2	no	—
142	C₄×D₄	—	4	2	no	—
143	C₄×D₄	—	4	2	no	—
144	#117	—	4	1	no	—
145	#117	—	4	1	no	—
146	#117	—	4	2	no	—
147	#117	—	4	2	no	—
148	#117	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
184	#97	—	4	4	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	4	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	—	8	8	no	—
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	4	8	no	—
194	#41	—	4	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	1	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	8	8	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	—	8	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	16	no	—
222	C₂×D₄	—	8	8	no	—
223	C₂×D₄	—	8	8	no	—
224	C₂×D₄	—	8	8	no	—
225	C₂×D₄	—	8	8	no	—
226	C₂×D₄	#100	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	8	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
289	C₄²	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	8	8	no	—
303	C₂³	—	8	16	no	—
304	C₂³	—	16	8	no	—
305	C₂³	—	16	8	no	—
306	C₂³	C₂×#100	1	4	yes	—
307	C₂³	#413	1	2	yes	—
308	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	4	4	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	D₄	—	8	4	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	8	no	—
315	D₄	—	8	16	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	16	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#576	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	#577	1	4	yes	—
356	C₈	—	8	4	no	—
357	C₈	—	8	4	no	—
358	C₂²	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	4	no	—
367	C₂²	—	8	8	no	—
368	C₂²	—	8	8	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	8	4	no	—
372	C₂²	—	16	16	no	—
373	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2897	1	4	yes	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	8	4	no	—
385	C₄	#3198	1	4	yes	—
386	C₄	#3199	1	2	yes	—
387	C₄	#3200	1	2	yes	—
388	C₂	—	4	4	no	—
389	C₂	—	4	2	no	—
390	C₂	—	16	4	no	—
391	C₂	#17770	1	2	yes	—
392	C₂	#17771	1	2	yes	—
393	C₂	#21752	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#21770	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂×C₄²	C₂⁴
prime radical	#35272	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21851	C₂	semidirect
3. #9142	C₂	semidirect
4. #9133	C₂	semidirect
5. #8728	C₂	semidirect
6. #8339	C₂	semidirect
10. C₂×#432	C₂²	semidirect
11. C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
25. #1797	C₂²	semidirect
29. #1296	C₂²	semidirect
30. #1296	C₂²	semidirect
31. #1296	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35272	2
#21851	2
#9142	2
#9133	2
#8728	2
#8339	2