Subgroups — #21373

Order 256.

759 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 221 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#1954	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1869	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₄×#41	—	2	4	no	—
11	C₄×#41	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#117	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	C₄	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#431	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
26	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
27	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#336	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#41	—	2	4	no	—
32	C₂×#41	—	2	4	no	—
33	C₂×#41	C₈	1	8	yes	complemented
34	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
45	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
50	C₄×D₄	—	2	8	no	—
51	C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	#117	—	2	4	no	—
57	#117	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄²	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
77	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
79	C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#41	—	2	32	no	—
85	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
88	C₂×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
93	C₂×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
94	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
106	C₂²×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
107	C₂²×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
108	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₈	—	2	16	no	—
120	C₂×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂×C₈	#41	1	8	yes	complemented
125	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₄²	—	2	4	no	—
133	C₄²	—	2	4	no	—
134	C₄²	—	2	2	no	—
135	C₄²	—	2	2	no	—
136	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³	—	2	2	no	—
143	C₂³	—	2	2	no	—
144	C₂³	—	2	2	no	—
145	C₂³	—	2	4	no	—
146	C₂³	—	2	2	no	—
147	C₂³	—	2	4	no	—
148	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂³	C₂²×C₈	1	4	yes	—
150	C₂³	C₂²×C₈	1	2	yes	—
151	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
152	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	Q₈	—	2	8	no	—
154	D₄	—	2	16	no	—
155	D₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂×C₄	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
172	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
178	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
182	C₂×C₄	#131	1	4	yes	—
183	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
186	C₈	—	2	8	no	—
187	C₈	—	4	4	no	—
188	C₂²	—	2	2	no	—
189	C₂²	—	2	4	no	—
190	C₂²	—	2	4	no	—
191	C₂²	—	2	2	no	—
192	C₂²	—	2	4	no	—
193	C₂²	—	2	8	no	—
194	C₂²	—	4	2	no	—
195	C₂²	—	4	4	no	—
196	C₂²	—	4	2	no	—
197	C₂²	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
198	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²	C₄×#41	1	2	yes	—
200	C₂²	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
201	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
202	C₂²	C₂×#131	1	2	yes	—
203	C₄	—	2	4	no	—
204	C₄	—	2	2	no	—
205	C₄	—	2	2	no	—
206	C₄	—	4	2	no	—
207	C₄	—	4	2	no	—
208	C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
209	C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
210	C₄	#408	1	4	yes	—
211	C₄	#525	1	2	yes	—
212	C₄	#532	1	2	yes	—
213	C₂	—	2	4	no	—
214	C₂	—	4	4	no	—
215	C₂	#2297	1	1	yes	characteristic
216	C₂	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
218	C₂	C₈×#41	1	2	yes	—
219	C₂	#2965	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂³
commutator	C₂²	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#41	C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#431	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄×C₈	C₂	semidirect
4. #1984	C₂	semidirect
5. #1954	C₂	semidirect
6. #1869	C₂	semidirect
7. C₄×C₂²⋊C₈	C₂	semidirect
33. C₂×#41	C₈	semidirect
87. C₂×Q₈	C₂×C₈	semidirect
93. C₂×D₄	C₂×C₈	semidirect
106. C₂²×C₄	C₂×C₈	semidirect
124. C₂×C₈	#41	semidirect
171. C₂×C₄	C₂²⋊C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#41	2
C₂×#431	2
C₂²×C₄×C₈	2
#1984	2
#1954	2
#1869	2
C₄×C₂²⋊C₈	2