Subgroups — #214097

Order 512.

1314 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 399 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2631	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#9083	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#9079	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#8705	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#8305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	#2631	—	2	4	no	—
13	#2631	—	2	4	no	—
14	C₂×#397	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×#393	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#393	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#392	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#392	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#392	C₄	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#386	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#386	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#383	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1870	—	2	4	no	—
24	#1869	—	2	4	no	—
25	#1817	C₂²	1	2	yes	—
26	#1817	C₂²	1	2	yes	—
27	#1779	C₂²	1	2	yes	—
28	#1779	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#323	C₂²	1	8	yes	—
30	#1280	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
40	C₂×#124	—	2	2	no	—
41	C₂×#124	—	2	2	no	—
42	C₂×#124	—	4	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#407	—	4	4	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
64	#397	—	2	8	no	—
65	#393	—	2	4	no	—
66	#393	—	2	4	no	—
67	#392	—	2	8	no	—
68	#392	—	2	4	no	—
69	#392	—	2	4	no	—
70	#386	—	2	4	no	—
71	#386	—	2	4	no	—
72	#386	—	2	4	no	—
73	#386	—	2	4	no	—
74	#383	—	2	2	no	—
75	#383	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#95	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	#336	—	2	4	no	—
84	#323	—	4	8	no	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
90	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	8	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	8	4	no	—
128	#124	—	4	8	no	—
129	#124	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	4	no	—
131	C₄×D₄	—	4	4	no	—
132	C₄×D₄	—	4	4	no	—
133	C₄×D₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	8	4	no	—
162	#95	—	2	2	no	—
163	#95	—	2	2	no	—
164	#95	—	2	4	no	—
165	#95	—	2	4	no	—
166	#95	—	2	4	no	—
167	#95	—	2	2	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	—	2	2	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂⁴	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	2	no	—
182	C₂⁴	—	4	2	no	—
183	C₂⁴	—	4	2	no	—
184	C₂⁴	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂⁴	#131	1	4	yes	—
189	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂×D₄	—	8	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	8	no	—
206	C₂×D₄	—	8	16	no	—
207	C₂×D₄	—	8	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
249	M₁₆	—	8	8	no	—
250	C₂×C₈	—	4	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	8	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	8	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	8	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	4	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	4	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	—	8	4	no	—
299	C₂³	—	8	4	no	—
300	C₂³	—	8	4	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	#408	1	4	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#518	1	2	yes	—
305	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
306	C₂³	#568	1	2	yes	—
307	Q₈	—	8	8	no	—
308	D₄	—	4	16	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	16	no	—
311	D₄	—	8	16	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	4	no	—
344	C₂×C₄	—	8	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
348	C₈	—	8	4	no	—
349	C₈	—	8	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	8	2	no	—
370	C₂²	—	8	2	no	—
371	C₂²	—	8	2	no	—
372	C₂²	—	8	2	no	—
373	C₂²	—	16	8	no	—
374	C₂²	#2308	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2883	1	2	yes	—
378	C₂²	#2888	1	2	yes	—
379	C₂²	#2976	1	4	yes	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	2	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	—	8	2	no	—
388	C₄	—	8	2	no	—
389	C₂	—	2	4	no	—
390	C₂	—	4	4	no	—
391	C₂	—	8	2	no	—
392	C₂	—	16	2	no	—
393	C₂	#17386	1	2	yes	—
394	C₂	#17405	1	2	yes	—
395	C₂	#21741	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#21750	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#21755	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#2631	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21742	C₂	semidirect
3. #21738	C₂	semidirect
4. #9083	C₂	semidirect
5. #9079	C₂	semidirect
6. #8705	C₂	semidirect
7. #8305	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2631	2
#21742	2
#21738	2
#9083	2
#9079	2
#8705	2
#8305	2