Subgroups — #21419

Order 256.

561 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 258 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3455	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#2921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#1995	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#1963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#1897	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#1896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#542	C₄	1	4	yes	complemented
13	#541	C₄	1	2	yes	complemented
14	#540	C₄	1	2	yes	complemented
15	#539	—	2	2	no	—
16	#538	—	2	2	no	—
17	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#529	—	2	4	no	—
20	#525	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#433	—	2	4	no	—
26	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
32	#407	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
35	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
36	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#339	C₂²	1	2	yes	—
41	#339	C₂²	1	2	yes	—
42	#339	C₂²	1	2	yes	—
43	#339	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
50	C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
51	#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#126	—	2	4	no	—
53	#126	—	2	4	no	—
54	#125	—	2	4	no	—
55	#125	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
56	#124	—	2	4	no	—
57	#124	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
58	#123	—	2	2	no	—
59	#123	—	2	4	no	—
60	#123	—	2	4	no	—
61	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
62	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
63	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#121	—	2	2	no	—
65	#121	—	2	4	no	—
66	#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#120	—	2	2	no	—
68	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
69	C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₄×D₄	—	2	4	no	—
71	C₄×D₄	—	2	4	no	—
72	C₄×D₄	—	2	2	no	—
73	C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
74	#117	—	2	2	no	—
75	#117	—	2	2	no	—
76	#117	—	2	2	no	—
77	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	#117	D₄	1	4	yes	—
80	#117	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
99	#104	—	2	4	no	—
100	#104	—	2	4	no	—
101	#104	—	2	4	no	—
102	#104	—	2	4	no	—
103	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
104	#97	—	2	2	no	—
105	C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	#95	—	2	2	no	—
107	#95	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	#41	—	2	2	no	—
110	#41	—	2	2	no	—
111	#41	—	2	2	no	—
112	#41	—	2	2	no	—
113	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	M₁₆	—	2	2	no	—
138	M₁₆	—	2	2	no	—
139	M₁₆	—	2	2	no	—
140	M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂×C₈	—	2	2	no	—
143	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
160	C₄²	—	2	4	no	—
161	C₄²	—	2	4	no	—
162	C₄²	—	2	2	no	—
163	C₄²	—	2	1	no	—
164	C₄²	—	2	1	no	—
165	C₄²	—	2	1	no	—
166	C₄²	—	2	1	no	—
167	C₄²	—	4	4	no	—
168	C₄²	—	4	4	no	—
169	C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₄²	#41	1	2	yes	—
175	C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₄²	#41	1	2	yes	—
177	C₄²	#41	1	2	yes	—
178	C₂³	—	2	1	no	—
179	C₂³	—	2	1	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	—	4	2	no	—
182	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	Q₈	—	2	2	no	—
185	Q₈	—	2	2	no	—
186	Q₈	—	8	2	no	—
187	D₄	—	2	2	no	—
188	D₄	—	2	2	no	—
189	D₄	—	4	2	no	—
190	D₄	—	4	2	no	—
191	D₄	—	8	2	no	—
192	D₄	—	8	4	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂×C₄	—	8	4	no	—
215	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₈	—	4	2	no	—
226	C₈	—	4	2	no	—
227	C₂²	—	2	2	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	2	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	2	no	—
234	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
237	C₄	—	2	4	no	—
238	C₄	—	2	4	no	—
239	C₄	—	2	2	no	—
240	C₄	—	2	2	no	—
241	C₄	—	2	2	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	4	2	no	—
244	C₄	—	4	2	no	—
245	C₄	—	4	4	no	—
246	C₄	—	4	2	no	—
247	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
250	C₄	#532	1	1	yes	characteristic
251	C₂	—	2	1	no	—
252	C₂	—	2	1	no	—
253	C₂	—	4	2	no	—
254	C₂	—	8	2	no	—
255	C₂	#2297	1	1	yes	characteristic
256	C₂	#2901	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#3455	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #2921	C₂	semidirect
3. C₄×#117	C₂	semidirect
4. #1995	C₂	semidirect
5. #1994	C₂	semidirect
6. #1963	C₂	semidirect
7. #1962	C₂	semidirect
8. #1897	C₂	semidirect
9. #1896	C₂	semidirect
10. #1759	C₂	semidirect
11. C₄×#104	C₂	semidirect
12. #542	C₄	semidirect
13. #541	C₄	semidirect
14. #540	C₄	semidirect
49. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
50. C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
51. #127	C₂×C₄	semidirect
55. #125	C₂×C₄	semidirect
57. #124	C₂×C₄	semidirect
69. C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
73. C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3455	2
#2921	2
C₄×#117	2
#1995	2
#1994	2
#1963	2
#1962	2
#1897	2
#1896	2
#1759	2
C₄×#104	2