Subgroups — #21441

Order 256.

792 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#1870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1869	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1753	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
14	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
15	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#120	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
23	#436	—	2	8	no	—
24	#435	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#386	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#386	C₄	1	2	yes	—
37	#385	C₄	1	2	yes	—
38	#385	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#379	C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂⁵	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
58	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
66	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#120	—	2	4	no	—
77	C₄×D₄	—	2	2	no	—
78	C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₄×D₄	—	2	2	no	—
80	C₄×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
94	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
101	#97	—	2	2	no	—
102	C₄×C₈	—	2	4	no	—
103	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	C₂⁴	—	2	4	no	—
107	C₂⁴	—	2	2	no	—
108	C₂⁴	—	2	2	no	—
109	C₂⁴	—	2	2	no	—
110	C₂⁴	—	4	2	no	—
111	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂⁴	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂⁴	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
123	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	M₁₆	—	2	16	no	—
151	M₁₆	—	2	16	no	—
152	M₁₆	—	4	4	no	—
153	C₂×C₈	—	2	8	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂×C₈	—	2	8	no	—
158	C₂×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂×C₈	—	2	1	no	—
160	C₂×C₈	—	2	1	no	—
161	C₂×C₈	—	2	2	no	—
162	C₂×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²⋊C₄	M₁₆	1	4	yes	complemented
179	C₄²	—	2	2	no	—
180	C₄²	—	2	1	no	—
181	C₄²	—	2	2	no	—
182	C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	8	no	—
186	C₂³	—	2	2	no	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	2	no	—
189	C₂³	—	2	2	no	—
190	C₂³	—	2	2	no	—
191	C₂³	—	2	2	no	—
192	C₂³	—	2	1	no	—
193	C₂³	—	2	2	no	—
194	C₂³	—	2	1	no	—
195	C₂³	—	2	1	no	—
196	C₂³	—	2	2	no	—
197	C₂³	—	4	8	no	—
198	C₂³	—	4	8	no	—
199	C₂³	—	4	4	no	—
200	C₂³	—	4	4	no	—
201	C₂³	C₄×D₄	1	4	yes	—
202	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂³	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
204	C₂³	#131	1	2	yes	—
205	C₂³	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	D₄	—	4	8	no	—
207	D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	complemented
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₈	—	2	4	no	—
243	C₈	—	2	2	no	—
244	C₈	—	4	1	no	—
245	C₈	—	4	2	no	—
246	C₈	—	4	1	no	—
247	C₈	#120	1	4	yes	complemented
248	C₂²	—	2	2	no	—
249	C₂²	—	2	4	no	—
250	C₂²	—	2	4	no	—
251	C₂²	—	2	2	no	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	4	16	no	—
256	C₂²	—	4	2	no	—
257	C₂²	—	4	2	no	—
258	C₂²	—	4	2	no	—
259	C₂²	—	4	2	no	—
260	C₂²	—	4	1	no	—
261	C₂²	—	4	1	no	—
262	C₂²	—	4	2	no	—
263	C₂²	—	4	2	no	—
264	C₂²	—	4	1	no	—
265	C₂²	#436	1	4	yes	complemented
266	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
270	C₂²	#568	1	2	yes	—
271	C₄	—	2	4	no	—
272	C₄	—	2	2	no	—
273	C₄	—	2	4	no	—
274	C₄	—	4	1	no	—
275	C₄	—	4	1	no	—
276	C₄	—	4	2	no	—
277	C₄	—	4	1	no	—
278	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
279	C₄	#525	1	2	yes	—
280	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
281	C₂	—	2	4	no	—
282	C₂	—	4	4	no	—
283	C₂	—	8	1	no	—
284	C₂	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂×#436	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#2930	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#2933	1	2	yes	—
288	C₂	D₄×M₁₆	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₄
prime radical	C₂×#120	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×M₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×#436	C₂	semidirect
3. C₂×#435	C₂	semidirect
5. #1870	C₂	semidirect
6. #1869	C₂	semidirect
7. #1851	C₂	semidirect
8. #1850	C₂	semidirect
9. #1779	C₂	semidirect
10. #1753	C₂	semidirect
11. C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
17. C₂²×M₁₆	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
31. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
32. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
33. C₂×#97	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
42. #336	C₂²	semidirect
43. #336	C₂²	semidirect
44. #336	C₂²	semidirect
65. C₂×M₁₆	D₄	semidirect
69. C₂²×C₈	D₄	semidirect
178. C₂²⋊C₄	M₁₆	semidirect
237. C₂×C₄	C₂×M₁₆	semidirect
247. C₈	#120	semidirect
265. C₂²	#436	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₁₆	2
C₂×#436	2
C₂×#435	2
C₄×#120	2
#1870	2
#1869	2
#1851	2
#1850	2
#1779	2
#1753	2
C₈×C₂²⋊C₄	2