Subgroups — #21452

Order 256.

976 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#447	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#442	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1879	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1874	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1864	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1853	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1762	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
14	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
18	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
19	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
23	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
25	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#447	C₄	1	8	yes	complemented
27	#442	—	2	8	no	—
28	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#388	—	2	1	no	—
39	#386	—	2	1	no	—
40	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
43	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#340	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂⁵	—	2	1	no	—
47	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
56	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
57	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
58	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
61	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
62	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×D₈	—	2	4	no	—
66	C₂×D₈	—	2	4	no	—
67	C₂×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
68	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
70	#121	—	2	2	no	—
71	#121	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	C₄×D₄	—	2	8	no	—
73	C₄×D₄	—	2	8	no	—
74	C₄×D₄	—	2	4	no	—
75	C₄×D₄	—	2	4	no	—
76	C₄×D₄	—	2	4	no	—
77	C₄×D₄	—	2	4	no	—
78	C₄×D₄	—	4	4	no	—
79	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
80	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#106	—	2	4	no	—
102	#102	—	2	4	no	—
103	#102	—	2	4	no	—
104	#102	—	2	4	no	—
105	#102	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
106	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
108	#97	—	2	4	no	—
109	#95	—	2	1	no	—
110	#95	—	2	1	no	—
111	#95	—	2	1	no	—
112	C₂⁴	—	2	4	no	—
113	C₂⁴	—	2	4	no	—
114	C₂⁴	—	2	4	no	—
115	C₂⁴	—	2	2	no	—
116	C₂⁴	—	2	1	no	—
117	C₂⁴	—	4	2	no	—
118	C₂⁴	—	4	2	no	—
119	C₂⁴	—	4	2	no	—
120	C₂⁴	—	4	2	no	—
121	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×D₄	—	2	4	no	—
123	C₂×D₄	—	2	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	16	no	—
125	C₂×D₄	—	2	16	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂×D₄	—	2	2	no	—
129	C₂×D₄	—	2	2	no	—
130	C₂×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂×D₄	—	2	1	no	—
134	C₂×D₄	—	4	2	no	—
135	C₂×D₄	—	4	2	no	—
136	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	complemented
138	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
155	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	#41	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	D₈	—	2	16	no	—
174	C₂×C₈	—	2	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	complemented
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	complemented
187	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₄²	—	2	2	no	—
196	C₄²	—	2	2	no	—
197	C₄²	—	2	2	no	—
198	C₄²	—	4	2	no	—
199	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₂³	—	2	1	no	—
201	C₂³	—	2	1	no	—
202	C₂³	—	2	1	no	—
203	C₂³	—	2	1	no	—
204	C₂³	—	2	16	no	—
205	C₂³	—	2	4	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	4	8	no	—
210	C₂³	—	4	8	no	—
211	C₂³	—	4	8	no	—
212	C₂³	—	4	8	no	—
213	C₂³	—	4	8	no	—
214	C₂³	—	4	2	no	—
215	C₂³	—	4	2	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	2	no	—
218	C₂³	—	4	8	no	—
219	C₂³	—	4	1	no	—
220	C₂³	—	4	1	no	—
221	C₂³	—	4	1	no	—
222	C₂³	—	4	1	no	—
223	C₂³	—	4	1	no	—
224	C₂³	—	4	1	no	—
225	C₂³	C₄×D₄	1	2	yes	—
226	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
227	C₂³	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
228	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	D₄	—	2	16	no	—
230	D₄	—	2	4	no	—
231	D₄	—	2	4	no	—
232	D₄	—	2	4	no	—
233	D₄	—	2	4	no	—
234	D₄	—	4	8	no	—
235	D₄	—	4	2	no	—
236	D₄	C₄×D₄	1	8	yes	complemented
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	16	no	—
255	C₂×C₄	—	4	16	no	—
256	C₂×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	—	4	1	no	—
264	C₂×C₄	—	4	1	no	—
265	C₂×C₄	—	4	1	no	—
266	C₂×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#120	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₈	—	2	4	no	—
277	C₈	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	2	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	4	32	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	4	no	—
289	C₂²	—	4	4	no	—
290	C₂²	—	4	4	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	2	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	2	no	—
295	C₂²	—	8	1	no	—
296	C₂²	—	8	1	no	—
297	C₂²	—	8	1	no	—
298	C₂²	—	8	1	no	—
299	C₂²	#442	1	4	yes	complemented
300	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#525	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#575	1	1	yes	characteristic
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	2	no	—
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	4	2	no	—
312	C₄	—	4	4	no	—
313	C₄	—	4	1	no	—
314	C₄	—	8	1	no	—
315	C₄	—	8	1	no	—
316	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₄	#525	1	2	yes	—
318	C₂	—	2	4	no	—
319	C₂	—	4	8	no	—
320	C₂	—	8	2	no	—
321	C₂	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₄×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#3003	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#3006	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#3109	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#3114	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#447	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₄×D₄	C₂	semidirect
3. C₂×#442	C₂	semidirect
4. C₄×#121	C₂	semidirect
5. #1879	C₂	semidirect
6. #1874	C₂	semidirect
7. #1864	C₂	semidirect
8. #1853	C₂	semidirect
9. #1786	C₂	semidirect
10. #1762	C₂	semidirect
11. #1749	C₂	semidirect
22. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
26. #447	C₄	semidirect
28. C₂×#106	C₂²	semidirect
32. C₂×#102	C₂²	semidirect
35. C₂×#97	C₂²	semidirect
36. #390	C₂²	semidirect
37. #389	C₂²	semidirect
41. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
43. #340	C₂²	semidirect
44. #340	C₂²	semidirect
45. #336	C₂²	semidirect
52. C₂²×D₄	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×D₈	C₂×C₄	semidirect
71. #121	C₂×C₄	semidirect
79. C₄×D₄	D₄	semidirect
105. #102	C₂×C₄	semidirect
107. C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
137. C₂×D₄	C₂²×C₄	semidirect
179. C₂×C₈	C₂²×C₄	semidirect
186. C₄⋊C₄	C₂²×C₄	semidirect
236. D₄	C₄×D₄	semidirect
299. C₂²	#442	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₄	2
C₂×#447	2
C₂×#442	2
C₄×#121	2
#1879	2
#1874	2
#1864	2
#1853	2
#1786	2
#1762	2
#1749	2