Subgroups — #21467

Order 256.

671 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#444	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#1876	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#1871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#1866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#1855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#1789	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#1765	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#1752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#131	—	2	8	no	—
15	C₂×#131	—	2	1	no	—
16	C₂×#131	—	2	1	no	—
17	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
21	C₂²×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
23	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#452	C₄	1	2	yes	complemented
26	#451	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
27	#450	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#449	C₄	1	2	yes	complemented
29	#448	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#447	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#444	—	2	8	no	—
32	#435	—	2	1	no	—
33	#435	—	2	1	no	—
34	C₈×D₄	—	2	1	no	—
35	C₈×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂×#108	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#104	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#416	C₂²	1	2	yes	—
42	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂×#97	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#341	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#339	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#336	C₂²	1	2	yes	complemented
51	C₂×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×#41	—	2	4	no	—
53	C₂×#41	—	2	1	no	—
54	C₂×#41	—	2	1	no	—
55	C₂×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
60	C₂²×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
62	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#135	—	2	4	no	—
64	#135	—	2	4	no	—
65	C₂×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	#131	—	2	8	no	—
70	#131	—	2	8	no	—
71	#131	—	2	4	no	—
72	#131	—	2	4	no	—
73	#131	—	2	4	no	—
74	#131	—	2	4	no	—
75	#131	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
82	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#123	—	2	1	no	—
99	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	#121	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
103	#120	—	2	1	no	—
104	C₄×D₄	—	2	1	no	—
105	C₄×D₄	—	2	1	no	—
106	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	#108	—	2	4	no	—
110	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
111	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
112	#104	—	2	4	no	—
113	#104	—	2	4	no	—
114	#104	—	2	4	no	—
115	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
116	#103	C₂×C₄	1	2	yes	—
117	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
126	#97	—	2	4	no	—
127	#97	—	2	1	no	—
128	C₄×C₈	—	2	1	no	—
129	#95	—	2	1	no	—
130	C₂⁴	—	2	1	no	—
131	C₂⁴	#41	1	1	yes	characteristic
132	#41	—	2	4	no	—
133	#41	—	2	8	no	—
134	#41	—	2	4	no	—
135	#41	—	2	4	no	—
136	#41	—	2	4	no	—
137	#41	—	2	2	no	—
138	#41	—	2	2	no	—
139	#41	—	2	2	no	—
140	#41	—	2	2	no	—
141	#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	#41	#41	1	4	yes	—
143	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×D₄	—	2	8	no	—
148	C₂×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	1	no	—
152	C₂×D₄	—	2	1	no	—
153	C₂×D₄	—	2	1	no	—
154	C₂×D₄	—	2	1	no	—
155	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	Q₁₆	—	2	4	no	—
173	SD₁₆	—	2	4	no	—
174	SD₁₆	—	2	4	no	—
175	D₈	—	2	4	no	—
176	M₁₆	—	2	4	no	—
177	M₁₆	—	2	8	no	—
178	M₁₆	—	2	2	no	—
179	M₁₆	—	2	8	no	—
180	M₁₆	—	2	2	no	—
181	M₁₆	—	2	2	no	—
182	M₁₆	—	4	2	no	—
183	M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	8	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	2	2	no	—
190	C₂×C₈	—	2	2	no	—
191	C₂×C₈	—	2	8	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	1	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
215	C₄²	—	2	1	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	4	no	—
219	C₂³	—	2	2	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	—	4	1	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	4	2	no	—
226	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂³	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	Q₈	—	2	4	no	—
230	Q₈	—	2	2	no	—
231	Q₈	—	2	2	no	—
232	Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
233	D₄	—	2	8	no	—
234	D₄	—	2	4	no	—
235	D₄	—	2	4	no	—
236	D₄	—	2	4	no	—
237	D₄	—	2	2	no	—
238	D₄	—	2	2	no	—
239	D₄	—	4	2	no	—
240	D₄	—	4	2	no	—
241	D₄	—	4	2	no	—
242	D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₈	—	2	2	no	—
270	C₈	—	2	2	no	—
271	C₈	—	2	1	no	—
272	C₈	—	2	4	no	—
273	C₈	—	2	1	no	—
274	C₈	—	4	1	no	—
275	C₈	—	4	1	no	—
276	C₈	#120	1	2	yes	—
277	C₈	#120	1	2	yes	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	1	no	—
280	C₂²	—	2	1	no	—
281	C₂²	—	2	1	no	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	2	1	no	—
284	C₂²	—	2	1	no	—
285	C₂²	—	2	4	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	8	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	4	2	no	—
290	C₂²	—	4	1	no	—
291	C₂²	—	4	1	no	—
292	C₂²	—	4	1	no	—
293	C₂²	#444	1	2	yes	complemented
294	C₂²	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#525	1	2	yes	—
296	C₄	—	2	1	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	2	1	no	—
299	C₄	—	4	1	no	—
300	C₄	—	4	1	no	—
301	C₄	—	4	1	no	—
302	C₄	—	8	2	no	—
303	C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
304	C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#525	1	1	yes	characteristic
306	C₂	—	2	2	no	—
307	C₂	—	2	2	no	—
308	C₂	—	4	1	no	—
309	C₂	—	4	4	no	—
310	C₂	—	8	1	no	—
311	C₂	C₄×#120	1	1	yes	characteristic
312	C₂	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₄
prime radical	#3002	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#131	C₂	semidirect
3. C₂×#444	C₂	semidirect
4. #2929	C₂	semidirect
5. #1876	C₂	semidirect
6. #1871	C₂	semidirect
7. #1866	C₂	semidirect
8. #1855	C₂	semidirect
9. #1789	C₂	semidirect
10. #1765	C₂	semidirect
11. #1752	C₂	semidirect
19. C₂×#131	C₂²	semidirect
25. #452	C₄	semidirect
26. #451	C₄	semidirect
27. #450	C₄	semidirect
28. #449	C₄	semidirect
29. #448	C₄	semidirect
30. #447	C₄	semidirect
36. C₂×#108	C₂²	semidirect
37. #424	C₂²	semidirect
40. C₂×#104	C₂²	semidirect
42. #408	C₂²	semidirect
45. #405	C₂²	semidirect
46. C₂×#97	C₂²	semidirect
48. #341	C₂²	semidirect
49. #339	C₂²	semidirect
50. #336	C₂²	semidirect
75. #131	D₄	semidirect
293. C₂²	#444	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#131	2
#3002	2
C₂×#444	2
#2929	2
#1876	2
#1871	2
#1866	2
#1855	2
#1789	2
#1765	2
#1752	2