Subgroups — C₃₁×#10722 #21467481

Order 7936.

1518 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 284 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×M₁₆×C₃₁	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃₁×#380	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₃₁×#340	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂⁴×C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
5	C₂²×M₁₆×C₃₁	—	2	4	no	—
6	C₂²×M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
7	C₂²×M₁₆×C₃₁	C₄	1	4	yes	complemented
8	C₂³×C₈×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
11	C₃₁×#380	—	2	4	no	—
12	C₃₁×#380	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₃₁×#95	—	2	2	no	—
14	C₃₁×#340	—	2	8	no	—
15	C₂⁵×C₃₁	D₄	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
17	C₂³×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
18	C₂³×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
19	C₂³×C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
21	C₂³×C₄×C₃₁	D₄	1	1	yes	characteristic
22	C₂³×C₄×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
23	C₂³×C₄×C₃₁	Q₈	1	2	yes	—
24	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	32	no	—
26	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	8	no	—
27	C₂×M₁₆×C₃₁	—	2	16	no	—
28	C₂²×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
30	C₂²×C₈×C₃₁	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂²×C₈×C₃₁	D₄	1	8	yes	—
32	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
37	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
38	C₃₁×#95	—	2	8	no	—
39	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
40	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
41	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
42	C₂⁴×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
43	C₂⁴×C₃₁	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
44	C₂⁴×C₃₁	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
49	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
51	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
53	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
54	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
55	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
57	C₂²×C₄×C₃₁	C₄²	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄×C₃₁	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₃₁	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
62	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₃₁	C₂²×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	4	yes	—
68	M₁₆×C₃₁	—	2	32	no	—
69	C₂×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
70	C₂×C₈×C₃₁	—	2	4	no	—
71	C₂×C₈×C₃₁	—	2	16	no	—
72	C₂×C₈×C₃₁	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
73	C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
74	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
75	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
76	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	16	no	—
77	#10722	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
78	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
80	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
85	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
86	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₃₁	#95	1	4	yes	—
88	C₂³×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₃₁	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₃₁	#121	1	4	yes	—
91	C₂³×C₃₁	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
92	C₂³×C₃₁	#137	1	4	yes	—
93	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
98	C₂×C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
99	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
100	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
101	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄×C₃₁	—	8	8	no	—
103	C₂×C₄×C₃₁	—	8	8	no	—
104	C₂×C₄×C₃₁	#95	1	4	yes	—
105	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₃₁	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₃₁	#117	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×C₃₁	C₄×D₄	1	8	yes	—
111	C₂×C₄×C₃₁	#120	1	4	yes	—
112	C₂×C₄×C₃₁	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₃₁	#123	1	4	yes	—
114	C₈×C₃₁	—	2	8	no	—
115	C₂³×M₁₆	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
116	C₂×#380	C₂×C₃₁	1	2	yes	—
117	C₂×#340	C₂×C₃₁	1	4	yes	complemented
118	C₂²×C₃₁	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₃₁	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
122	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
123	C₂²×C₃₁	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₃₁	#380	1	2	yes	—
125	C₂²×C₃₁	#386	1	4	yes	—
126	C₂²×C₃₁	#417	1	4	yes	—
127	C₂²×C₃₁	#418	1	2	yes	—
128	C₂²×C₃₁	#419	1	2	yes	—
129	C₂²×C₃₁	#428	1	4	yes	—
130	C₂²×C₃₁	#468	1	8	yes	—
131	C₂²×C₃₁	#469	1	4	yes	—
132	C₂²×C₃₁	#470	1	4	yes	—
133	C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
134	C₄×C₃₁	—	8	8	no	—
135	C₄×C₃₁	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₄×C₃₁	#379	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₃₁	#381	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₃₁	#385	1	4	yes	—
139	C₂⁴×C₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
142	C₂²×M₁₆	C₄×C₃₁	1	4	yes	complemented
143	C₂³×C₈	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
145	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
146	#380	—	2	4	no	—
147	#380	C₄×C₃₁	1	8	yes	complemented
148	C₂×#95	—	2	2	no	—
149	#340	—	2	8	no	—
150	C₂×C₃₁	—	4	4	no	—
151	C₂×C₃₁	C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₃₁	#1736	1	2	yes	—
153	C₂×C₃₁	#1809	1	4	yes	—
154	C₂×C₃₁	#1894	1	4	yes	—
155	C₂×C₃₁	#1895	1	4	yes	—
156	C₂⁵	D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
159	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
162	C₂³×C₄	D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
163	C₂³×C₄	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
164	C₂³×C₄	Q₈×C₃₁	1	2	yes	—
165	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
166	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₈	C₂×C₄×C₃₁	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	D₄×C₃₁	1	8	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₄×C₃₁	1	8	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
179	#95	—	2	8	no	—
180	C₃₁	#10722	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	—	2	4	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
185	C₂⁴	C₄⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	C₄²×C₃₁	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×C₄×C₃₁	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×Q₈×C₃₁	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	4	yes	—
210	M₁₆	—	2	32	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	16	no	—
214	C₂×C₈	C₂²⋊C₄×C₃₁	1	8	yes	complemented
215	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
219	C₂³	—	2	8	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	2	4	no	—
222	C₂³	—	2	8	no	—
223	C₂³	—	2	4	no	—
224	C₂³	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	4	8	no	—
226	C₂³	—	4	4	no	—
227	C₂³	—	4	4	no	—
228	C₂³	C₃₁×#95	1	4	yes	—
229	C₂³	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₃₁×#121	1	4	yes	—
232	C₂³	C₃₁×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
233	C₂³	C₃₁×#137	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	16	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	8	8	no	—
244	C₂×C₄	—	8	8	no	—
245	C₂×C₄	C₃₁×#95	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×C₄²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
250	C₂×C₄	C₃₁×#117	1	2	yes	—
251	C₂×C₄	C₄×D₄×C₃₁	1	8	yes	—
252	C₂×C₄	C₃₁×#120	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₃₁×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₃₁×#123	1	4	yes	—
255	C₈	—	2	8	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	8	no	—
258	C₂²	—	4	8	no	—
259	C₂²	—	4	8	no	—
260	C₂²	—	4	8	no	—
261	C₂²	C₂×C₃₁×#95	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₃₁×#380	1	2	yes	—
263	C₂²	C₃₁×#386	1	4	yes	—
264	C₂²	C₃₁×#417	1	4	yes	—
265	C₂²	C₃₁×#418	1	2	yes	—
266	C₂²	C₃₁×#419	1	2	yes	—
267	C₂²	C₃₁×#428	1	4	yes	—
268	C₂²	C₃₁×#468	1	8	yes	—
269	C₂²	C₃₁×#469	1	4	yes	—
270	C₂²	C₃₁×#470	1	4	yes	—
271	C₄	—	2	4	no	—
272	C₄	—	8	8	no	—
273	C₄	C₄×C₂²⋊C₄×C₃₁	1	2	yes	—
274	C₄	C₃₁×#379	1	1	yes	characteristic
275	C₄	C₃₁×#381	1	1	yes	characteristic
276	C₄	C₃₁×#385	1	4	yes	—
277	C₂	—	4	4	no	—
278	C₂	C₃₁×C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
279	C₂	C₃₁×#1736	1	2	yes	—
280	C₂	C₃₁×#1809	1	4	yes	—
281	C₂	C₃₁×#1894	1	4	yes	—
282	C₂	C₃₁×#1895	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴×C₃₁	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂×C₄²×C₃₁
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁
prime radical	C₂⁵×C₃₁	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴×C₃₁ ◁ C₂⁴×C₄×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₃₁×#340	C₂	semidirect
7. C₂²×M₁₆×C₃₁	C₄	semidirect
12. C₃₁×#380	C₄	semidirect
72. C₂×C₈×C₃₁	C₂²⋊C₄	semidirect
77. #10722	C₃₁	direct (N × H)
117. C₂×#340	C₂×C₃₁	semidirect
142. C₂²×M₁₆	C₄×C₃₁	semidirect
147. #380	C₄×C₃₁	semidirect
180. C₃₁	#10722	direct (N × H)
214. C₂×C₈	C₂²⋊C₄×C₃₁	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×M₁₆×C₃₁	2
C₂×C₃₁×#380	2
C₂×C₃₁×#340	2
#10722	31

Subgroups — C31×#10722 #21467481

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#10722 #21467481