Subgroups — C₃₁×#15224 #21471983

Order 7936.

1678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃₁×#390	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₃₁×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₃₁×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₃₁×#1440	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₃₁×C₄⋊#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₃₁×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊C₄×C₃₁	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₄²×C₃₁	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄²×C₃₁	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₃₁×#390	—	2	8	no	—
15	C₃₁×#390	—	2	4	no	—
16	C₃₁×#382	—	2	4	no	—
17	C₂×C₃₁×#95	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₃₁×#95	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₃₁×#95	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂⁵×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
21	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
22	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	2	no	—
23	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
24	C₂²×D₄×C₃₁	—	2	4	no	—
25	C₂²×D₄×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
26	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
27	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂³×C₄×C₃₁	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
32	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄⋊C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
36	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
37	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
38	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	2	16	no	—
39	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
40	C₂×C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
41	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄²×C₃₁	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄²×C₃₁	D₄	1	4	yes	—
46	C₃₁×#95	—	2	8	no	—
47	C₃₁×#95	—	2	8	no	—
48	C₃₁×#95	—	4	8	no	—
49	C₂⁴×C₃₁	—	2	2	no	—
50	C₂⁴×C₃₁	—	2	8	no	—
51	C₂⁴×C₃₁	—	2	2	no	—
52	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
53	C₂⁴×C₃₁	—	2	4	no	—
54	C₂⁴×C₃₁	—	2	8	no	—
55	C₂⁴×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
56	C₂⁴×C₃₁	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
57	C₂×D₄×C₃₁	—	2	8	no	—
58	C₂×D₄×C₃₁	—	2	16	no	—
59	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
60	C₂×D₄×C₃₁	—	4	4	no	—
61	C₂×D₄×C₃₁	—	4	8	no	—
62	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
76	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₃₁	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	8	yes	—
84	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₃₁	#41	1	4	yes	—
87	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
88	C₄⋊C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
89	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	32	no	—
90	C₂²⋊C₄×C₃₁	—	4	16	no	—
91	C₄²×C₃₁	—	2	8	no	—
92	C₄²×C₃₁	—	4	8	no	—
93	#15224	C₃₁	1	1	yes	maximal, characteristic, direct product factor, Sylow
94	C₂³×C₃₁	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₃₁	—	2	8	no	—
96	C₂³×C₃₁	—	2	16	no	—
97	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₃₁	—	4	2	no	—
99	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
100	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
101	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
102	C₂³×C₃₁	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
104	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
106	C₂³×C₃₁	—	4	8	no	—
107	C₂³×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₃₁	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₃₁	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
111	C₂³×C₃₁	C₂×#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₃₁	C₂×#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₃₁	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
114	D₄×C₃₁	—	4	16	no	—
115	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄×C₃₁	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₃₁	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
126	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
127	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₃₁	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄×C₃₁	#121	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₃₁	#123	1	4	yes	—
137	C₂×C₄×C₃₁	#123	1	8	yes	—
138	C₂×C₄×C₃₁	#124	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₃₁	#126	1	8	yes	—
140	C₂×#390	C₂×C₃₁	1	2	yes	—
141	C₂×#390	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic
142	C₂×#382	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
143	#1440	C₂×C₃₁	1	8	yes	complemented
144	C₄⋊#95	C₂×C₃₁	1	2	yes	complemented
145	C₄×#95	C₂×C₃₁	1	1	yes	characteristic, complemented
146	C₂²×C₃₁	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₃₁	—	4	16	no	—
148	C₂²×C₃₁	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₃₁	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₃₁	—	8	2	no	—
151	C₂²×C₃₁	—	8	4	no	—
152	C₂²×C₃₁	—	8	8	no	—
153	C₂²×C₃₁	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₃₁	C₂×#123	1	2	yes	—
155	C₂²×C₃₁	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₃₁	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₃₁	C₂×#126	1	2	yes	—
158	C₂²×C₃₁	#529	1	4	yes	—
159	C₂²×C₃₁	#532	1	2	yes	—
160	C₂²×C₃₁	#535	1	2	yes	—
161	C₂²×C₃₁	#540	1	4	yes	—
162	C₂²×C₃₁	#546	1	4	yes	—
163	C₂²×C₃₁	#553	1	4	yes	—
164	C₂²×C₃₁	#555	1	4	yes	—
165	C₂²×C₃₁	#559	1	4	yes	—
166	C₄×C₃₁	—	4	8	no	—
167	C₄×C₃₁	—	4	4	no	—
168	C₄×C₃₁	—	8	2	no	—
169	C₄×C₃₁	—	8	4	no	—
170	C₄×C₃₁	#397	1	8	yes	—
171	C₂³×D₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
174	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	8	yes	—
175	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄²	C₂²×C₃₁	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄²	C₂²×C₃₁	1	1	yes	characteristic
178	#390	—	2	8	no	—
179	#390	—	2	4	no	—
180	#382	—	2	4	no	—
181	C₂×#95	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
182	C₂×#95	C₂²×C₃₁	1	4	yes	—
183	C₂×#95	C₂²×C₃₁	1	8	yes	—
184	C₂×C₃₁	—	8	4	no	—
185	C₂×C₃₁	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₃₁	#2420	1	4	yes	—
187	C₂×C₃₁	#2500	1	2	yes	—
188	C₂×C₃₁	#2513	1	4	yes	—
189	C₂×C₃₁	#2544	1	2	yes	—
190	C₂×C₃₁	#2641	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₃₁	#2861	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁵	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
193	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×D₄	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
198	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
199	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
200	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	2	yes	—
201	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	4	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂³×C₃₁	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	D₄×C₃₁	1	4	yes	—
218	#95	—	2	8	no	—
219	#95	—	2	8	no	—
220	#95	—	4	8	no	—
221	C₃₁	#15224	1	1	yes	characteristic, direct product factor, Sylow
222	C₂⁴	—	2	2	no	—
223	C₂⁴	—	2	8	no	—
224	C₂⁴	—	2	2	no	—
225	C₂⁴	—	2	4	no	—
226	C₂⁴	—	2	4	no	—
227	C₂⁴	—	2	8	no	—
228	C₂⁴	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
229	C₂⁴	C₂⁴×C₃₁	1	1	yes	characteristic
230	C₂×D₄	—	2	8	no	—
231	C₂×D₄	—	2	16	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×D₄×C₃₁	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#41×C₃₁	1	4	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄²	—	2	8	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	2	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂²×D₄×C₃₁	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#41×C₃₁	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#41×C₃₁	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#41×C₃₁	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂×#41×C₃₁	1	4	yes	—
285	C₂³	C₃₁×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
286	D₄	—	4	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	C₃₁×#121	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₃₁×#123	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₃₁×#123	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₃₁×#124	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₃₁×#126	1	8	yes	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	16	no	—
314	C₂²	—	4	8	no	—
315	C₂²	—	8	2	no	—
316	C₂²	—	8	2	no	—
317	C₂²	—	8	4	no	—
318	C₂²	—	8	8	no	—
319	C₂²	C₂×C₃₁×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×C₃₁×#123	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×C₃₁×#123	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×C₃₁×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×C₃₁×#126	1	2	yes	—
324	C₂²	C₃₁×#529	1	4	yes	—
325	C₂²	C₃₁×#532	1	2	yes	—
326	C₂²	C₃₁×#535	1	2	yes	—
327	C₂²	C₃₁×#540	1	4	yes	—
328	C₂²	C₃₁×#546	1	4	yes	—
329	C₂²	C₃₁×#553	1	4	yes	—
330	C₂²	C₃₁×#555	1	4	yes	—
331	C₂²	C₃₁×#559	1	4	yes	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	4	4	no	—
334	C₄	—	8	2	no	—
335	C₄	—	8	4	no	—
336	C₄	C₃₁×#397	1	8	yes	—
337	C₂	—	8	4	no	—
338	C₂	C₂×C₃₁×#397	1	1	yes	characteristic
339	C₂	C₃₁×#2420	1	4	yes	—
340	C₂	C₃₁×#2500	1	2	yes	—
341	C₂	C₃₁×#2513	1	4	yes	—
342	C₂	C₃₁×#2544	1	2	yes	—
343	C₂	C₃₁×#2641	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₃₁×#2861	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴×C₃₁	C₂⁴
commutator, Frattini, cosocle	C₂⁴	C₂⁴×C₃₁
prime radical	C₂³×D₄×C₃₁	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴×C₃₁ ◁ G

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₃₁×#382	C₂	semidirect
4. C₃₁×#1440	C₂	semidirect
5. C₃₁×C₄⋊#95	C₂	semidirect
6. C₄×C₃₁×#95	C₂	semidirect
93. #15224	C₃₁	direct (N × H)
142. C₂×#382	C₂×C₃₁	semidirect
143. #1440	C₂×C₃₁	semidirect
144. C₄⋊#95	C₂×C₃₁	semidirect
145. C₄×#95	C₂×C₃₁	semidirect
221. C₃₁	#15224	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃₁×#390	2
C₂×C₃₁×#382	2
C₃₁×#1440	2
C₃₁×C₄⋊#95	2
C₄×C₃₁×#95	2
#15224	31

Subgroups — C31×#15224 #21471983

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₃₁×#15224 #21471983